Question

Calcule a derivada das seguintes funções y=x^2(x^3-1)^5

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf y = x {}^{2}. (x {}^{3} - 1) {}^{5}$

Você pode observar que essa função, se trata da multiplicação de outras duas $\sf f(x) = h(x).g(x)$, partindo desse ideia, podemos usar a regra do produto, dada por:

$\boxed{\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} h(x).g(x) + h(x). \frac{d}{dx} g(x) }$

Digamos que a função h e g sejam respectivamente $\sf h(x)=x^{2}\:\: e \:\: g(x) = (x^{3}-1)^{5}$

Aplicando esses dados na regra, teremos que:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} x {}^{2} .(x {}^{3} - 1) {}^{5} + x {}^{2} . \frac{d}{dx} (x {}^{3} - 1) {}^{5}$Note que onde temos as derivações, podemos usar a regra da potência e a regra da cadeia, ambas dada por:

Regra da potência:

$\boxed{ \sf \: x {}^{n} = n.x {}^{n - 1} }$

Regra da cadeia:

$\boxed{ \sf \frac{dh}{dx} = \frac{dh}{du} . \frac{du}{dx}}$

Vamos fazer cada uma delas separadamente, para que não haja dúvidas, primeiro vamos começar com a regra da potência:

$\sf \frac{dg}{dx} = x {}^{2} \longleftrightarrow \frac{dg}{dx} = { 2.x }^{2 - 1} \longleftrightarrow \boxed{ \sf \frac{dg}{dx} = 2x }$

Agora a regra da cadeia:

$\sf \frac{dh}{dx} = \underbrace{( x {}^{3} - 1) }_{u} {}^{5} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf h(x) = u {}^{5} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf u = x {}^{3} - 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dh}{dx} = \frac{dh}{du} . \frac{du}{dx} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx} u {}^{5} . \frac{d}{dx} x {}^{3} - 1 \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dh}{dx} = 5.u {}^{5 - 1} .(3.x {}^{3 - 1} - 0 ) \\ \\ \sf \frac{dh}{dx} = 5u {}^{4} .3x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dh}{dx} = 5(x {}^{3} - 1) {}^{4} .3x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\sf \frac{dh}{dx} = 15x {}^{2} (x {}^{3} - 1) {}^{4} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo os valores:

$\sf \frac{dy}{dx} = 2x .(x {}^{3} - 1) {}^{5} + x {}^{2}. 15x {}^{2}(x {}^{3} - 1) {}^{4} \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = 2x.(x {}^{3} - 1) {}^{5} + 15x {}^{4} .(x {}^{3} - 1) {}^{4} \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = x.(2[(x {}^{3} - 1) {}^{5} ] + 15x {}^{3} [ ( {x}^{3} - 1) {}^{4} ]) \\ \\ \boxed{\sf \frac{dy}{dx} = x.(x {}^{3} - 1) {}^{4} . [2.(x {}^{3} - 1) + 15x {}^{3} ])} \: \: \: \:$

Espero ter ajudado