Question

A aceleração de uma partícula, em função do tempo, é dada por ax(t) = (18,0m/s³)t − 20m/s² (a) Faça um gráfico de ax versus tempo de t = 0 até t = 2,0m/s. Sabendo que a diferença de velocidades vx(t)- vx(0) é determinada pela área sob a curva do gráfico de ax(t) entre os instantes 0 e t e dado que vx(0) = 9,00m/s, encontre vx(t). (b) Faça um gráfico de vx versus tempo de t = 0 até t = 2,0s. Em quais instantes a velocidade vx(t) é igual a zero? Em que instante a velocidade é mínima? Quanto vale a aceleração no instante em que a velocidade é mínima? (c) Em um gráfico da posição da partícula em função do tempo no movimento retilíneo, a velocidade instantânea em qualquer ponto é igual à inclinação da tangente da curva nesse ponto. Com esta informação, mais os resultados do item (b) e dado que x(0) = 0, faça um esboço do gráfico x versus t.

Answer 1

Vamos aplicar os conceitos de Cálculo Diferencial e Integral para auxiliar nesta resolução.

a) O gráfico de a(t) será uma reta (primeiro gráfico anexado no final desta resolução).

Se v(t) - v(0) é representado pela área do gráfico a(t), podemos calcular essa diferença por meio de uma Integral Definida:

$v(t) - v(0) = \int\limits^t_0 {a(t)} \, dt = \int\limits^t_0 {18t - 20} \, dt = (9t^2 - 20t)|_0^t = 9t^2 - 20t$

Substituindo v(0) = 9 m/s, ficaremos com:

v(t) - 9 = 9t² - 20t

v(t) = 9t² - 20t + 9

b) O gráfico de v(t) será uma parábola (segundo gráfico anexado).

Para saber em quais instantes a velocidade foi nula basta calcularmos as raízes da equação v(t) = 0. Aplicaremos Bháskara:

v(t) = 0

9t² - 20t + 9 = 0

Δ = 400 - 324 = 76

t = (20±8,72)/18

t' = 0,627 s

t'' = 1,596 s

Para sabermos quando a velocidade é mínima basta derivarmos v(t) e igualarmos a zero:

v'(t) = 0

18t - 20 = 0

t = 20/18 = 1,11 s

Substituindo esse valor em a(t) temos:

a(1,11) = 18*1,11 - 20 = -0,02 m/s²

c) Novamente, o espaço x(t) será a integral definida de v(t):

$x(t) - x(0) = \int\limits^t_0 {v(t)} \, dt = \int\limits^t_0 {9t^2-20t+9} \, dt = 9t^3 - 10t^2 + 9t\\\\x(t) = 9t^3-10t^2+9t$

O gráfico de x(t) é o terceiro gráfico que esta anexado.

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