Question

1- no desenvolvimento de (x² + 2/x)¹², encontre e simplifique o termo independente de x. Gt me ajudaa plmds​

Answer 1

Temos o seguinte binômio:

$\sf \left(x {}^{2} + \frac{2}{x} \right) {}^{12}$

Como você pode vem observar, esse binômio possui um expoente bastante elevado e para desenvolvê-lo até encontrar o termo independente seria bastante cansativo, então vamos usar um artifício chamado Termo geral do binômio, que é dado por:

$\sf T_{p+1} = \binom{n}{p}a^{n-p}.b^{p}$

Onde:

• "a" e "b" representam os valores do primeiro e segundo elemento do binômio;
• "n" representa o expoente;
• "p" representa a "posição".

Listando os dados que temos:

$\begin{cases}\sf a = x {}^{2} \\ \sf b = \frac{2}{x} \\ \sf n = 12\end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$\sf T_{p+1} = \binom{12}{p}(x {}^{2} )^{12-p}. \left( \frac{2}{x} \right)^{p}$

Vamos usar a potência da potência ali no termo x², ou seja, multiplicar o expoente pelos números que o mesmo está elevado:

$\sf T_{p+1} = \binom{12}{p}(x {}^{}) ^{2.(12-p)}.\left( \frac{2}{x} \right)^{p} \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{12}{p}(x) ^{24-2p}.\left( \frac{2}{x} \right)^{p} \: \: \:$

Agora vamos elevar ambos os elementos daquele parênteses que estão elevados a "p":

$\sf T_{p+1} = \binom{12}{p}(x)^{24-2p}.\left( \frac{2 {}^{p} }{x {}^{p} } \right) \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{12}{p} \frac{2 {}^{p}. (x)^{24-2p}}{x {}^{p} } \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{12}{p} \frac{2 {}^{p} }{1} . \frac{x {}^{24 - 2p} }{x {}^{p} }$

Lembre-se de mais uma propriedade de potência, que é a divisão de potências de mesma base, aplicando a mesma, teremos que:

$\sf T_{p+1} = \binom{12}{p}2^{p}.x {}^{24 - 2p - p} \\ \\ \sf T_{p+1} = \binom{n}{p}2 {}^{p} .x {}^{24 - 3p}$

Agora atente-se ao fato de que a questão nos fala que quer o termo independente, ou seja, x elevado a "0", então vamos pegar a expressão do expoente de x e igualar a "0":

$\sf 24 - 3p = 0 \\ \sf 3p = 24 \\ \sf p = \frac{24}{ 3} \\ \boxed{\sf p = 8}$

Substituindo finalmente o valor de "p":

$\sf T_{8+1} = \binom{12}{8}2^{8}.x^{24 - 3.8} \\ \\ \sf T_{9} = \binom{12}{8}.256.x {}^{0} \\ \\ \sf T_{9} = \binom{12}{8} .256 \\ \\ \sf T_{9} = \frac{12!}{8!(12-8)!}.256 \\ \\ \sf T_{9} = \frac{12.11.10.9. \cancel{8!}}{ \cancel{8!}4!}.256 \\ \\ \sf T_{9} = \frac{12.11.10.9}{4.3.2.1} .256 \\ \\ \sf T_{9} = 495.256 \\ \\ \boxed{\sf T_{9} = 126720}$

Espero ter ajudado