Question

Considere as funções f(x) = 4x – 3 e g(x) = 5. Para que valores reais de x é verificada que o logaritmo de 4x-3 na base 0,3 é menor que logaritmo de 5 na base 0,3?

A) x ≤ 2
B) x > 2
C) 0 < x < 2
D) x ≥ 2

Answer 1

Essa questão irá trabalhar com o conceito de Inequações Logarítmicas.

• Cálculos :

1º Passo → Transformar o enunciado em uma sentença matemática.

• Observação : No caso as funções definidas como f(x) e g(x) irão virar os logaritmandos dos logaritmos que estarão envolvidos na resolução.

       $log_{0,3} 4x - 3 < log_{0,3} 5$

2º Passo → Analisar as bases da nossa inequação logarítmica.

• Caso as bases fossem diferentes nós deveríamos dar um jeito de colocar ambos os lados da desigualdade numa base comum. Como as bases são iguais nós devemos fazer a seguinte análise :

1. Inequação Logarítmica com base > 1 → O sinal da desigualdade será mantido.
2. Inequação Logarítmica com base entre 0 e 1 → O sinal da desigualdade será trocado.

• Como a base está entre 0 e 1 nós devemos inverter o sinal da inequação :

       $log_{0,3} 4x - 3 < log_{0,3} 5$

       $log_{0,3}4x - 3 > log_{0,3} 5$

3º Passo → Como as bases são iguais basta igualar os logaritmandos.

       $4x - 3 > 5$

• Note que nós chegamos em uma Inequação do Primeiro Grau. Para resolve-la basta utilizar o mesmo método de resolução das Equações de Primeiro Grau :

      $4x - 3 > 5$

   → Isolar a Incógnita no primeiro membro :

      $4x > 5 + 3\\4x > 8$

   → Passar o termo que multiplica o x dividindo do lado direito :

        $x > \left \frac{8}{4} \right$

        $x > 2$

Solução : x > 2 (Resposta ⇒ Letra B)

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