Question

A forma trigonométrica do número complexo $Z = -2 + 2\sqrt{3i}$ é: a) Z = 16(cos120º+isen120º) b) Z = 2(cos240º+isen240º) c) Z = 4(cos30º+isen30º) d) Z = 4(cos120º+isen120º) e) Z = 4(cos60º+isen60º)

Answer 1

A questão trata da mudança de representação de um número complexo, da forma retangular para a polar (ou trigonométrica). Em geral, um número complexo é representado pela separação de sua parte real de sua imaginária.

$Z = x+yi$

Para transformar em sua respectiva forma polar torna-se mais fácil pensar num número complexo como um vetor cujas coordenadas são as partes do número complexo, (x, y). Deste modo, obtemos a forma polar obtendo o tamanho do vetor e o ângulo que o vetor faz com o eixo Real. Portanto, teremos que o vetor será

$Z = \rho (\cos(\phi)+i\sin(\phi))$

Onde ρ é a norma do vetor e Φ, o ângulo do vetor, que podem ser calculados a partir de x e y,

$\rho = \sqrt{x^2+y^2}$

$\phi = arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$

Aplicando isso ao exercício $Z = -2+2\sqrt{3}i$

$\rho = \sqrt{(-2)^2+(2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12} = \sqrt{16} = 4$

$\phi = arctan\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{-2}\right) = arctan(-\sqrt{3}) = 120\°$

$Z = 4(\cos(120\°)+i\sin(120\°))$

Portanto, Alternativa d)