Question

8. Se f(x) = x²- 1 e g(x) = x + 1, determine os valo-
res reais de x para os quais (fog)(x) ≤ 0.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{(f\circ g)(x)\leq 0~|~x\in\left[-2,~0\right]}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades de inequações quadráticas e funções compostas.

Dadas as funções $f(x)=x^2-1$ e $g(x)=x+1$, devemos determinar os valores reais de $x$ para os quais $(f\circ g)(x)\leq 0$.

Neste caso, lembre-se que $(f\circ g)(x)=f(g(x))$, então teremos:

$(f\circ g)(x)=f(x+1)=(x+1)^2-1$

Expanda o binômio, lembrando que $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$

$(f\circ g)(x)=x^2+2x+1-1$

Cancele os termos opostos

$(f\circ g)(x)=x^2+2x$

Então, teremos a seguinte inequação quadrática:

$x^2+2x\leq 0$

Veja que podemos fatorar $x$ como fator comum em evidência, logo

$x\cdot(x+2)\leq 0$

Para que um produto seja menor ou igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser menor que zero, logo teremos dois casos possíveis:

$\begin{cases}x\leq 0\\ x+2\geq0\\\end{cases}~~~\mathtt{ou}~~~\begin{cases}x\geq 0\\ x+2\leq0\\\end{cases}$

Subtraindo 2 em ambos os lados da segunda inequação, teremos

$\begin{cases}x\leq 0\\ x\geq-2\\\end{cases}~~~\mathtt{ou}~~~\begin{cases}x\geq 0\\ x\leq-2\\\end{cases}$

Observe que no segundo caso, o intervalo não existe, pois $x$ não pode ser maior que zero e menor que $-2$ ao mesmo tempo, logo temos a solução:

$\begin{cases}x\leq 0\\ x\geq-2\\\end{cases}$

Em notação de intervalo, temos:

$x\in\left[-2,~0\right]$

Os valores reais que satisfazem esta condição estão contidos neste intervalo.

Answer 2

Resposta:

x² + 2x ≤ 0  ⇒  {x ∈ R /  -2 ≤  x  ≤  0}

Explicação passo-a-passo:

fog(x) = (x + 1)² - 1

fog(x) = x² + 2x + 1 - 1

fog(x) = x² + x

fatorando para achar raízes:

x(x + 2) = 0

produto = zero ⇒ cada fator pode ser zero

então

x = 0 ⇒ x' = 0

x + 2 = 0 ⇒ x'' = -2

trata-se de uma parábola côncava para cima que corta o eixo das abscissas nos pontos (-2  0) e (0  0)

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x² + 2x ≤ 0  ⇒  {x ∈ R /  -2 ≤  x  ≤  0}