Question

1) Determine a razão de cada PG:

a-   (xy,x²y,x³y,...),onde X e Y édiferente de 0.

b-   (a, a+3, 5a-3,8a)

2)Qual é o número de termos de uma PG cujo primeiro termo é igual a 1/2, a razão é igual a 2 e p últomo termo é ogual a 128?

Answer 1

1)
a)

$P.G~(xy,x^{2}y,x^{3}y,...)$

$a_{1}=xy\\a_{2}=x^{2}y\\\\q=a_{2}/a_{1}=x^{2}/(xy)=x^{2}/x=x\\\\\boxed{\boxed{q=x}}$

b)

$P.G~(a,a+3,5a-3,8a)$

$a_{1}=a\\a_{2}=a+3\\a_{3}=5a-3$

$q=a_{2}/a_{1}=a_{3}/a_{2}$
$a_{2}/a_{1}=a_{3}/a_{2}\\(a+3)/a=(5a-3)/(a+3)\\(a+3)*(a+3)=a*(5a-3)\\(a+3)^{2}=5a^{2}-3a\\a^{2}+6a+9=5a^{2}-3a\\0=5a^{2}-a^{2}-3a-6a-9\\4a^{2}-9a-9=0$

$\Delta = b~{2}-4*a*c\\\Delta=(-9)^{2}-4*4*(-9)\\\Delta=81+144\\\Delta=225$

$a=(-b\pm\sqrt{\Delta})/2a\\a=(-[-9]\pm\sqrt{225})/(2*4)\\a=(9\pm15)/8$

$a'=(9+15)/8\\a'=24/8\\a'=3$

$a''=(9-15)/8\\a''=-6/8\\a''=-3/4$
________________________

Testando os valores:

a = 3:
$a_{1}=a=3$
$a_{2}=a+3=3+3=6$
$a_{3}=5a-3=5*3-3=15-3=12$
$a_{4}=8a=8*3=24$

Veja que essa sequência é uma P.G de razão 2

$q = a_{2}/a_{1}=6/3=2$

Testando a = - 3 / 4:
$a_{1}=a=-3/4\\a_{2}=a+3=(-3/4)+3=(-3+12)/4=9/4\\a_{3}=5a-3=5(-3/4)-3=(-15/4)-3=(-15-12)/4=-27/4\\a_{4}=8a=8(-3/4)=2(-3)=-6$

Veja que essa sequência não pode ser uma P.G por causa do quarto termo, logo 'a' vale 3.

Resposta: q = 2

2)

$a_{1}=1/2\\q=2\\a_{n}=128$

$a_{n}=a_{1}*q^{n-1}\\128=(1/2)*2^{n-1}\\2^{7}=2^{-1}*2^{n-1}\\2^{7}/2^{-1}=2^{n-1}\\2^{7-(-1)}=2^{n-1}\\2^{8}=2^{n-1}\\n-1=8\\n=8+1\\n=9~termos$