Uma classe de 50 alunos irão escolher o presidente e o vice-presidente da turma para representa-los em reuniões com a direção do curso. Quantas possíveis escolhas diferentes são possíveis se:
(a) Não houver restrições;
(b) Se o aluno A só aceitar ser o representante da sala se for o presidente;
(c) Se os alunos A e B só aceitarem ser os representante juntos ou não serem os representante;
(d) Se os alunos A e B não aceitarem ser representantes juntos.
Respostas
Resposta:
a) 2.450
b) 2.401
c) 2.258
d) 2.448
Explicação passo-a-passo:
Temos n = 50 alunos, dos quais iremos escolher k = 2. Como a ordem de escolha diferencia o cargo, temos um problema envolvendo o conceito de arranjo.
a)Como não há restrição, o total desejado é A50,2 = 50! /48! = 50 · 49 = 2.450.
b) O aluno A é escolhido para ser o presidente. Logo, há 1 possibilidade de escolha para o presidente e 49 possibilidades de escolha para o vice-presidente. Ou seja, há um total de 1 · 49 = 49 possibilidades.
O aluno A não é escolhido para presidente. Logo, restam 49 alunos, dois quais 2 serão escolhidos. Logo, há um total de A49,2 = 49!/47! = 49 · 48 = 2.352 possibilidades.
Portanto, o total de maneiras é 2.352 + 49 = 2.401.
c) Os alunos A e B são os escolhidos. Nesta caso, temos 2 · 1 = 2 possibilidades.
Os alunos A e B não são os escolhidos. Logo, restam 48 alunos, dos quais 2 serão escolhidos. Logo, há um total de A48,2 = 48!/46! = 48 · 47 = 2.256 possibilidades.
Portanto, o total de maneiras é 2.256 + 2 = 2.258.
d)O total de maneiras sem restrição é 2.450. O total de maneiras com A e B juntos é 2. Logo, o total de maneiras com A e B não sendo os representantes juntos é 2.450 − 2 = 2.448.
Espero ter ajudado!
Bons estudos.