Question

Calcule o valor de x na equação logarítmica abaixo:

log₅ 4x-3 = log₅ 2x+9

a) 4
b) 5
c) 6
d) 9

Answer 1

Obs.: Pelas alternativas de resposta, estou admitindo que (4x-3) e (2x+9) sejam os logaritmandos, caso contrário deixe um comentário e eu corrijo.

Como temos uma igualdade entre logaritmos de mesma base, necessariamente os logaritmandos deverão também ser idênticos, logo:

$\log_{_5}(4x-3)~=~\log_{_5}(2x+9)\\\\\\\log_{_5}\!\!\!\!\!\!\backslash\,(4x-3)~=~\log_{_5}\!\!\!\!\!\!\backslash\,(2x+9)\\\\\\(4x-3)~=~(2x+9)\\\\\\4x-2x~=~9+3\\\\\\2x~=~12\\\\\\x~=~\dfrac{12}{2}\\\\\\\boxed{x~=~6}$

Precisamos ainda verificar se a solução encontrada (x=6) satisfaz as condições de existência do logaritmo.

$C.E.~:~~\left\{\begin{array}{ccc}Logaritmando&>&0\\Base&>&0\\Base&\ne&1\end{array}\right.$

Como a base vale 5 nos dois logaritmos, as duas C.E's referentes a base são satisfeitas, vamos conferir os logaritmandos:

$\underline{4x-3}~~~para~x=6:\\\\4\cdot6-3~=~24-3~=~21~(maior~que~0)~~\boxed{\checkmark}\\\\\\\underline{2x+9}~~~para~x=6:\\\\2\cdot6+9~=~12+9~=~21~(maior~que~0)~~\boxed{\checkmark}$

Como todas C.E's são satisfeitas, podemos então afirmar que x=6 é a solução para a equação dada.