Question

Encontre a derivada primeira de f(x)= sen(cossec(√x^4-e^x)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{f'(x)=-\dfrac{(4x^{3}-e^x)\cdot\csc(\sqrt{x^4-e^x})\cdot\cot(\sqrt{x^4-e^x})\cdot \cos(\csc(\sqrt{x^4-e^x}))}{2\cdot\sqrt{x^4-e^x}}}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para calcularmos a primeira derivada da função $f(x)=\sin(\csc(\sqrt{x^4-e^x}))$, devemos relembrar algumas técnicas de derivação.

Primeiro, derivamos a função em relação a $x$

$f'(x)=[\sin(\csc(\sqrt{x^4-e^x}))]'$

Então, aplicamos a regra da cadeia, visto que temos uma função composta

$f'(x)=(\csc(\sqrt{x^4-e^x}))'\cdot \sin'(\csc(\sqrt{x^4-e^x}))$

A derivada da função seno é igual a função cosseno, logo

$f'(x)=(\csc(\sqrt{x^4-e^x}))'\cdot \cos(\csc(\sqrt{x^4-e^x}))$

A derivada da função cossecante também será calculada a partir da regra da cadeia, logo

$f'(x)=(\sqrt{x^4-e^x})'\cdot \csc'(\sqrt{x^4-e^x})\cdot \cos(\csc(\sqrt{x^4-e^x}))$

Lembre-se que a função cossecante é o inverso da função seno, logo $\csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}$.

Para derivá-la, utilizamos a regra do quociente $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-v'\cdot u}{v^2}$

Ficaremos com:

$\csc'=\left(\dfrac{1}{\sin}\right)'=\dfrac{1'\cdot\sin- \sin'\cdot 1}{\sin^2}$

Sabendo que a derivada de uma constante é igual a zero e a derivada da função seno é a função cosseno, temos

$\csc'=\dfrac{0\cdot\sin- \cos\cdot 1}{\sin^2}\\\\\\ \csc'=\dfrac{- \cos}{\sin^2}$

Separamos a fração como produto de duas frações:

$\csc'=\dfrac{1}{\sin}\cdot\dfrac{- \cos}{\sin}$

Lembrando que $\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$, temos

$\csc'=-\csc\cdot\cot$

Substituindo esta derivada na função, teremos

$f'(x)=(\sqrt{x^4-e^x})'\cdot (-\csc(\sqrt{x^4-e^x})\cdot\cot(\sqrt{x^4-e^x}))\cdot \cos(\csc(\sqrt{x^4-e^x}))$

Por fim, para derivarmos a raiz, utilizamos novamente a regra da cadeia, sabendo que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x)=(x^4-e^x)'\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{x^4-e^x}}}\cdot (-\csc(\sqrt{x^4-e^x})\cdot\cot(\sqrt{x^4-e^x}))\cdot \cos(\csc(\sqrt{x^4-e^x}))$

Aplicando a regra da soma, teremos

$f'(x)=(x^4'-e^x')\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{x^4-e^x}}}\cdot (-\csc(\sqrt{x^4-e^x})\cdot\cot(\sqrt{x^4-e^x}))\cdot \cos(\csc(\sqrt{x^4-e^x}))$

Aplicando a regra da potência e sabendo que a derivada da função exponencial é ela mesma, temos

$f'(x)=(4\cdot x^{3}-e^x)\dfrac{1}{2\cdot\sqrt{x^4-e^x}}}\cdot (-\csc(\sqrt{x^4-e^x})\cdot\cot(\sqrt{x^4-e^x}))\cdot \cos(\csc(\sqrt{x^4-e^x}))$

Multiplique as frações

$f'(x)=-\dfrac{(4x^{3}-e^x)\cdot\csc(\sqrt{x^4-e^x})\cdot\cot(\sqrt{x^4-e^x})\cdot \cos(\csc(\sqrt{x^4-e^x}))}{2\cdot\sqrt{x^4-e^x}}}$

Esta é a derivada desta função.