Question

Mostre pelo Princípio da Indução Matemática que: 1/1×3 + 1/3x5 + 1/5x7 + ... + 1/(2k-1)(2k+1) = k/2k+1. Para todo numero natural n ≥ 1.

Answer 1

INTRODUÇÃO

De início, podemos reescrever de maneira conveniente a igualdade da questão em forma de somatório.

$\displaystyle{\boxed{{\mathsf{\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{(2i-1)\cdot(2i+1)} = \dfrac{n}{2n+1}}}}$

Queremos provar pelo Princípio de Indução Matemática (PIM) que para qualquer n ≥ 1 a igualdade é válida. Chamemo-na de hipótese. Para transformar uma hipótese em uma proposição verdadeira, podemos seguir três simples passos:

1. Provar que a hipótese vale para o caso base.
2. Supor que a hipótese valha para qualquer n = k.
3. Utilizar o passo indutivo para verificar se ela vale para k + 1.

Utilizando-se desses processos, o princípio garante que a hipótese é verdadeira.

PASSO 1

O caso base desta questão é quando n = 1. Ou seja, vamos ver se

$\displaystyle{{\mathsf{\dfrac{1}{(2.1-1)\cdot(2.1+1)} = \dfrac{1}{2.1+1}}}$

De fato, é fácil observar que o lado esquerdo da equação é igual ao direito. Logo, está provado que o caso base é válido.

PASSO 2

Suposição: a hipótese vale para qualquer n = k.

Ou seja, a seguinte igualdade é válida:

$\displaystyle{{\mathsf{\sum_{i=1}^{k}\dfrac{1}{(2i-1)\cdot(2i+1)} = \dfrac{k}{2k+1}}}$

Afirmamos que é verdade de antemão - mesmo sem termos provado - para que, caso a conjectura seja falsa, possamos encontrar um absurdo ao final da resolução.

PASSO 3

Provar se a hipótese vale para n = k + 1.

$\displaystyle{{\mathsf{\sum_{i=1}^{k+1}\dfrac{1}{(2i-1)\cdot(2i+1)} = \dfrac{(k+1)}{2.(k+1)+1}}}$

Destrinchando o lado esquerdo da igualdade, podemos separar o último membro que envolve i = k + 1. Após isso, quase que simultaneamente substituiremos o o somatório de i = 1 até k pela suposição que fizemos no passo anterior (passo indutivo).

$\displaystyle{{\mathsf{{\underbrace{\mathsf{\sum_{i=1}^{k}\dfrac{1}{(2i-1)\cdot(2i+1)}}}_{\frac{k}{2k+1}}} + \dfrac{1}{(2.(k+1)-1)\cdot(2.(k+1)+1)}}}} \Longleftrightarrow \\\\\\\displaystyle{{\mathsf{\dfrac{k}{2k+1} + \dfrac{1}{(2k+1)\cdot(2k+3)}}}} \Longleftrightarrow\\\\\\\\\displaystyle{{\mathsf{\dfrac{k.(2k+3)+1}{(2k+1)\cdot(2k+3)} }}} \Longleftrightarrow\\\\\\\\\displaystyle{{\mathsf{\dfrac{(k+1)\cdot (2k+1)}{(2k+1)\cdot(2k+3)}}}} \Longleftrightarrow \boxed{\mathsf{\dfrac{k+1}{2k+3}}}$

Perceba que o segundo membro da igualdade do passo 3 é exatamente o resultado obtido acima. Nesse sentido, o princípio indutivo nos naturais garante que a hipótese vale para qualquer n. Logo, como queríamos demonstrar, a igualdade é válida para todo n ≥ 1 natural.