Question

Qual o valor da soma S=i^15+i^16...I^77+i^78?
A)0
B)1
c)i
d)-i
e)-1
obs: números complexos.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~S=0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos algumas propriedades estudadas em soma dos termos de uma progressão geométrica e potências de $\bold{i}$.

Temos a seguinte soma $S=i^{15}+i^{16}+\cdots+i^{77}+i^{78}$

Lembremos que dada uma progressão geométrica de $n$ termos, sua soma é dada por:

$S=\dfrac{a_1\cdot (q^{n}-1)}{q-1}$, tal que $a_1$ é o primeiro termo e $q$ é a razão da progressão, sendo calculada pela fórmula $q=\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}},~n>1$.

Assim, devemos saber quantos termos existem nessa progressão. De forma intuitiva, utilizaremos a fórmula do termo geral:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Observe que $q$ será calculado a partir da fórmula dada acima e considerando $a_1=i^{15}$ e $a_2=i^{16}$. Logo,

$q=\dfrac{i^{16}}{i^{15}}=i^{16-15}=i$

Substituindo o valor da razão e $a_n=i^{78}$, teremos

$i^{78}=i^{15}\cdot i^{n-1}$

Multiplicando as potências de mesma base, temos

$i^{78}= i^{14+n}$

Visto que as bases são iguais, iguale os expoentes

$78=14+n$

Subtraindo $14$ em ambos os lados da equação, temos que

$n=64$

Por fim, substituindo estes dados na fórmula da soma dos termos:

$S=\dfrac{i^{15}\cdot(i^{64}-1)}{i-1}$

Então, devemos conhecer as potências de $i$. Sabe-se que as potências respeitam um ciclo, tal que para cada expoente múltiplo de 4, repetem-se os valores $\underbrace{1,~i,~-1,~-i}_{i^0,~i^1,~i^2,~i^3}$.

Dessa forma, basta que dividamos os expoentes por 4 e utilizemos o resto como novo expoente, visto que encontraremos basicamente uma destas formas principais:

$S=\dfrac{i^{4\cdot 3 +3}\cdot(i^{4\cdot 16+0}-1)}{i-1}$

Facilmente, podemos ver que

$S=\dfrac{i^{3}\cdot(i^{0}-1)}{i-1}$

Calculando as potências

$S=\dfrac{-i\cdot(1-1)}{i-1}$

Somando os valores

$S=\dfrac{-i\cdot0}{i-1}$

Multiplicando os valores

$S=\dfrac{0}{i-1}$

Calculando a divisão

$S=0~~\checkmark$

Este é o valor desta soma e é a resposta contida na letra a).