Question

3) Quais são as raízes da equação x² - 64 = 0 ? S= { 0 , 8 } S= { -8 , 8 } S= { 8 , 10 } S= { 0 , 8 } OBS: COM CAUCULO

Answer 1

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

A RESOLUÇÃO SERÁ APRESENTADA DE DUAS FORMAS:

• 1ª FORMA (Mais simples): Sem o cálculo do discriminante (Δ) e da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva da equação do segundo grau), por se tratar de uma equação incompleta (uma equação completa do 2º grau é uma igualdade do tipo ax²+bx+c=0 e, ao analisar esta questão, verifica-se que não há o termo +bx):

x² - 64 = 0 ⇒

x² = 64 ⇒

x = √64 ⇒           (Ao fatorar-se 64, tem-se 2⁶ (2.2=4).)

x = √2⁶ ⇒

x = +8                  (Porque √(8)² = √(8)(8) = √64 = 8.)

ou

x = -8                  (Porque √(-8)² = √(-8)(-8) = √64 = 8.)

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• 2ª FORMA (Mais complexa): Calculando o discriminante e aplicando a Fórmula de Bhaskara:

(I)Determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:

1.x²          - 64 = 0               (Veja a Observação 1.)

a.x² + b.x + c  = 0

Coeficientes: a = 1, b = 0, c = (-64)

OBSERVAÇÃO 1: Quando o coeficiente for 1, ele pode ser omitido, pois está subentendido. Assim, em vez de 1.x², no termo ax², tem-se apenas x².

(II)Cálculo do discriminante (Δ), que é o valor que diz o número de raízes e se elas estão no conjunto dos números reais ou no dos complexos, utilizando-se dos coeficientes:

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (0)² - 4 . (1) . (-64) ⇒

Δ = 0 - 4 . 1 . (-64) ⇒          

Δ = -4 . (-64) ⇒                 (Veja a Observação 2 abaixo.)

Δ = 256

OBSERVAÇÃO 2: Na parte destacada, aplicou-se a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam em sinal de positivo (+).

→Como o discriminante (Δ) resultou em um valor maior que zero, a equação x²-64=0 terá duas raízes diferentes e pertencentes ao conjuntos dos números reais.

(III)Aplicação da fórmula de Bhaskara, utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:

x = (-b ± √Δ) / 2 . a ⇒

x = (-(0) ± √256) / 2 . (1) ⇒

x = (± √256) / 2 ⇒      

x' = +16/2 ⇒ x' = 8

x'' = -16/2 ⇒ x'' = -8

RESPOSTA: Os valores de x (raízes) são -8 e 8.

Outras maneiras, porém mais formais, de indicar a resposta:

• S={x E R / x = -8 ou x = 8} (Leia-se "o conjunto solução é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a menos oito ou x é igual a oito") ou

• S={-8, 8} (Leia-se "o conjunto solução é constituído pelos elementos menos oito e oito".)

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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo x = -8 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:

1.x² - 64 = 0 ⇒

1 . (-8)² - 64 = 0 ⇒

1 . (-8)(-8) - 64 = 0 ⇒

1 . 64 - 64 = 0 ⇒

64 - 64 = 0 ⇒  

0 = 0               (Provado que x = -8 é solução (raiz) da equação.)

→Substituindo x = 8 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:

1.x² - 64 = 0 ⇒

1 . (8)² - 64 = 0 ⇒

1 . (8)(8) - 64 = 0 ⇒

1 . 64 - 64 = 0 ⇒

64 - 64 = 0 ⇒  

0 = 0               (Provado que x = 8 é solução (raiz) da equação.)

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