Question

Será que alguém pode me ajudar na solução desta INTEGRAL: ∫ 3/2 dx

*É 3 sobre 2X

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{3\ln(x)}{2}+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a integral $\displaystyle{\int \dfrac{3}{2x}\,dx}$, devemos relembrar algumas propriedades de integração.

Sabemos que a integral do produto entre uma constante e uma função é igual ao produto entre a constante e a integral da função, isto é: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx = a\cdot \int f(x)\,dx}$.

Dessa forma, ao aplicarmos esta propriedade, nossa integral se torna:

$\displaystyle{\dfrac{3}{2}\cdot\int \dfrac{1}{x}\,dx}$

Sabemos que a integral $\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|}$ , o que demonstraremos mais tarde.

Assim, teremos

$\displaystyle{\dfrac{3}{2}\cdot\ln|x|$

Multiplique os valores e adicione a constante de integração

$\dfrac{3\ln|x|}{2}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado da nossa integral.

Para demonstrarmos o porquê deste resultado, recorremos ao Teorema fundamental do cálculo. Seja a integral da função $\displaystyle{\int f(x)\,dx = F(x)+C$, tal que $F(x)$ é uma primitiva da função $f(x)$, sabemos que $\dfrac{d(F(x)+C)}{dx}=f(x)$.

Dessa forma, podemos calcular a derivada da função $\ln(x)$.

Utilizaremos a definição de derivada: $f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}$.

Substituindo $f(x)=\ln(x)$, teremos

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\ln(x+\Delta{x})-\ln(x)}{\Delta{x}}$

Aplique a propriedade da diferença de logaritmos de mesma base: $\ln(b)-\ln(a)=\ln\left(\dfrac{b}{a}\right)$. Teremos:

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\ln\left(\dfrac{x+\Delta{x}}{x}\right)}{\Delta{x}}$

Separe a soma no numerador como uma soma de frações

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\ln\left(\dfrac{x}{x}+\dfrac{\Delta{x}}{x}\right)}{\Delta{x}}$

Simplifique a fração

$f'(x)=\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\ln\left(1+\dfrac{\Delta{x}}{x}\right)}{\Delta{x}}$

Fazendo uma substituição $u=\dfrac{\Delta{x}}{x}$, lembrando que se $\Delta{x}\rightarrow0$, logo $u\rightarrow0$. Teremos:

$f'(x)=\underset{u\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\ln(1+u)}{u\cdot x}$

O limite está definido para a variável $u$, logo consideramos o $x$ como constante e aplicamos a regra: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~a\cdot f(x)=a\cdot \underset{x\rightarrow c}{\lim} ~f(x)$

$f'(x)=\dfrac{1}{x}\cdot\underset{u\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\ln(1+u)}{u}$

A partir do Teorema do confronto, calculamos este limite. Quando uma das funções está limitada a um intervalo, como a função $\ln(1+u)$ está definida apenas no intervalo $\left]-1,~+\infty\right[$ e as funções convergem para o mesmo ponto (neste caso, zero), seu limite é igual a 1.

Assim, foi demonstrado que a derivada da função $\dfrac{d(\ln(x))}{dx}=\dfrac{1}{x}$ e, dessa forma, $\displaystyle{\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C~~\checkmark$.

Veja que colocamos o logaritmando em módulo pois a função não está definida para números negativos no conjunto dos números reais.