Respostas
Olá.
Vamos entender como resolver esse exercício.
Há duas matrizes associadas a um sistema: a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada (ou matriz aumentada).
Matriz dos coeficientes: É a matriz formada apenas com os coeficientes do sistema. A primeira linha é formada com os coeficientes da primeira equação, a segunda linha é formada com os coeficientes da segunda equação, etc.
Já a matriz ampliada é a matriz formada pelos coeficientes das variáveis do sistema acrescida de uma coluna formada pelos termos independentes.
Por isso, escalonando a matriz ampliada conseguimos chegar à solução do sistema, com os resultados aparecendo na última coluna à direita, onde ficam os termos independentes. Cada linha escalonada mostra a resposta de uma das variáveis do sistema.
Uma matriz é denominada de forma escalonada ou forma escada quando o número de zeros no lado esquerdo do primeiro elemento não nulo da linha aumenta a cada linha, o que faz com que a matriz pareça uma escada. Daí o nome.
Para converter a matriz aumentada numa matriz escalonada aplicamos uma sequência de operações denominadas de operações elementares. Tais operações são escolhidas de forma que a solução do sistema não seja alterada.
As operações elementares são 3:
→ Somar múltiplo de outra linha: Equivale a somar múltiplo da outra equação que também não altera a solução do sistema.
→ Troca de linhas: A troca de linhas corresponde a troca da posição das equações, o que não influencia na solução do sistema.
→ Multiplicar uma linha por número não nulo: Equivale a multiplicar um número não nulo na equação correspondente que também não altera a solução. (Esta operação não é necessária na eliminação de Gauss, mas faz-se necessária na Gauss-Jordan.)
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Os métodos de Gauss e Gauss-Jordan são conhecidos como "método de escalonamento". A diferença entre eles é que o método de Gauss dá a forma escada eliminando os elementos abaixo da diagonal principal, e o método de Gauss-Jordan continua esse processo até eliminar também os elementos aque estão acima da diagonal principal. O primeiro faz o chamado escalonamento de linha. O segundo faz o escalonamento de linha reduzida.
Nas imagens abaixo você tem os cálculos de cada operação elementar sobre as linhas da matriz.
E duas respostas. A primeira pelo método de Gauss, e a outra, se tomar desde o início até o fim, mostra o escalonamento de Gauss-Jordan.
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