Question

Um carro A segue uma rodovia num longo trecho retilineo. A função horária da posição é dada por.
XA = 10 + 16t
Outro carro B segue em uma rodovia perpendicular aquela percorrida pelo carro A. A função horária da
posição de B é dada por:
XB = -6 + 4t
Determine a distância minima entre os dois carros, considerando as unidades no S.I.

Answer 1

Resposta:

$D_{minimo}=8,2462 m$

Explicação:

conforme o desenho, aplicando o teorema de Pitágoras:

D²=XB²+XA²

D²=(-6+4t)²+(10+16t)²

D²= (-6)²+2.(-6).4t+(4t)² + 10²+ 2.10.16t+(16t)²

D²=36 - 48t + 16t² + 100 + 320t + 256t²

D²=272t²+272t + 136

D²= 136.(2t²+2t+1)

como equação de segundo grau F(t) =2t²+2t+1 apresenta a = 2, portanto a>0, sua parábola é voltada para cima, sendo o valor de t no vértice desta parábola o minimo absoluto desta função, logo:

F(t) =2t²+2t+1

a=2 , b=2 , c =1

$t_{v\\}=\frac{-b}{2a} =\frac{-2}{2.2}$

$t_{v\\} =\frac{-1}{2}$

$t_{v\\} = -0,5$

com este valor do tempo da distância mínima entre os carro, voltamos a equação da distância:

D²= 136.(2t²+2t+1)

$D^2=136.(2(\frac{-1}{2})^{2}+2(\frac{-1}{2})+1)$

$D^{2}= 136.(\frac{2.1}{4} +\frac{2.(-1)}{2} +1)=136.(\frac{1}{2}-1+1)$

$D^{2}=136.\frac{1}{2}=68$

$D=\sqrt{68}$

D= 8,2462 m