Question

Dadas as funções f (x) = sen (x) e g (x) = sem (x) + 2. A área delimitada entre as duas curvas no intervalo de (0, π)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{2\pi~u.\,a}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para determinarmos a área entre duas curvas, utilizamos integrais.

Neste caso, já temos o intervalo que a área delimitada entre as duas curvas está definida. Então, lembre-se que:

A área entre duas curvas $f(x)$ e $g(x)$ contínuas em um dado intervalo $\left[a,~b\right]$, tal que em todo o intervalo, $f(x)\geq g(x)$, será calculada pela integral: $\displaystyle{\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Assim, sendo as funções $f(x)=\sin(x)$ e $g(x)=\sin(x)+2$ e o intervalo $[0,~\pi]$, veja o gráfico em anexo: No intervalo dado, por conta do parâmetro, a função $g(x)\geq f(x)$.

Lembre-se que dada uma função trigonométrica da forma: $f(x)=a\cdot \sin(bx+c)+d$, cada parâmetro é responsável por uma alteração no gráfico.

• O parâmetro $a$ é responsável pela amplitude da função.
• O parâmetro $b$ altera o período, calculado pela fórmula $p=\dfrac{2\pi}{|b|}$ na funções senoide e cossenoide e $p=\dfrac{\pi}{|b|}$ na função tangente.
• O parâmetro $c$ translada o gráfico para a esquerda ou para a direita, a depender de seu sinal.
• O parâmetro $d$ translada o gráfico para cima ou para baixo, a depender de seu sinal.

Assim, sendo as funções $f(x)=\sin(x)$ e $g(x)=\sin(x)+2$ e o intervalo $[0,~\pi]$, teremos:

$\displaystyle{\int_0^{\pi} \sin(x)+2-\sin(x)\,dx}$

Cancele os termos opostos

$\displaystyle{\int_0^{\pi} 2\,dx}$

Para calcularmos esta integral, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

Sabendo que a potência $x^0=1$, teremos:

$\displaystyle{\int_0^{\pi} 2\cdot x^0\,dx}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{2\cdot\int_0^{\pi} x^0\,dx}$

Aplique a regra da potência

$\displaystyle{2\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_0^{\pi}$

Some os valores

$2x~\biggr|_0^{\pi}$

Por fim, de acordo com o Teorema fundamental do cálculo, a integral definida de uma função contínua em um dado intervalo $[a,~b]$ é dada por: $\displaystyle{\int_a^{b} f(x)\,dx=F(x)~\biggr_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é uma primitiva da função $f(x)$ e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$.

Dessa forma, teremos:

$2\cdot(\pi -0)$

Some os valores entre parênteses e multiplique os valores

$2\pi$

Esta é a área entre as curvas neste intervalo.