Question

Seja a função f(x) = x²−1 / x+1 definida para todo x real e x ≠ −1. Sabendo que limx→−1 f(x) = −2, calcule δ de modo que 0 < |x + 1| < δ ⇒ |f(x) + 2| < 0,01. Alguém pode me explicar como responde essa questão

Answer 1

Primeiramente devemos lembrar da definição de limites, que diz:

❑ Seja f(x) definida num intervalo contendo a. Podendo não ser definida em a, temos:

• $\lim_{x\rightarrow a} f(x) = L$ se para todo $\epsilon >0$ existir um $\delta >0$tal que $|f(x)-L|<\epsilon$ sempre que $0<|x-a|<\delta$

Partindo dessa definição, temos que:

$\sf \lim_{x\rightarrow - 1} \frac{x {}^{2} - 1}{x + 1} = - 2$

Substituindo os valores nos seus devidos locais, a partir do que foi listado na definição.

❑ Primeiro vamos substituir os dados na relação que contém delta:

$\sf 0 < |x - ( - 1)| < \delta \\ \sf 0 < |x + 1| < \delta \: \: \: \: \: \: \:$

❑ Agora vamos partir para a expressão de epsilon:

$\sf \left | \frac{x {}^{2} - 1 }{x + 1} - ( - 2)\right| < \epsilon \\ \\ \sf \left | \frac{x {}^{2} - 1}{x + 1} + 2 \right| < \epsilon \: \: \: \: \: \: \:$

Podemos fazer uma seguinte fatoração naquela expressão, basta lembrar do produto da soma pela diferente, dada por:

$\sf (x {}^{2} - y {}^{2} ) = (x + y).(x - y)$

Aplicando:

$\sf (x {}^{2} - 1 {}^{2} ) = (x + 1).(x - 1)$

Então:

$\sf \left | \frac{ \cancel{(x + 1)}.(x - 1)}{ \cancel{x + 1}} + 2 \right| < \epsilon \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \left | x - 1 + 2 \right| < \epsilon \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf |x + 1| < \epsilon \: \: \: \: \: \: \: \:$

Aquele "0" da expressão de delta pode ser "desprezado", ficando apenas com:

$\sf |x + 1| < \delta \\ \sf |x + 1| < \epsilon$

Temos duas expressões iguais, logo os valores de delta e epsilon devem ser iguais também:

$\delta = \epsilon$

Se você observar a questão nos fornece o valor de epsilon, bem na parte que contém a função f(x):

$\sf |f(x) + 2| < \underbrace{0,01}_{ \epsilon}$

Podemos então concluir que:

$\boxed{ \sf \delta = 0,01}$

Espero ter ajudado