Question

Resolva a inversão das raizes da equação:
2x³-5x²+4x+6=0​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{-\dfrac{2}{3}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar das Relações de Girard.

Seja a equação de grau 3 de coeficientes reais $2x^3-5x^2+4x+6=0$, buscamos a soma dos inversos das raízes.

Então, considere que as raízes desta equação serão: $x_1,~x_2$ e $x_3$.

A soma dos inversos será dada por: $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}$

Observe que ao somarmos estas frações, teremos a expressão:

$\dfrac{x_2\cdot x_3+x_1\cdot x_3+x_1\cdot x_2}{x_1\cdot x_2\cdot x_3}$

Veja que no numerador, temos a soma dos produtos das raízes, duas a duas. No denominador, temos o produto das raízes.

Dessa forma, utilizamos as relações de Girard, que nos dizem que dada uma equação de grau 3 $ax^3+bx^2+cx+d=0$, tal que $a\neq 0$,

• A soma dos produtos das raízes é dado por $\dfrac{c}{a}$.
• O produto das raízes é dado por $-\dfrac{d}{a}$.

Substituindo estes dados na fração, teremos

$\dfrac{\left(\dfrac{c}{a}\right)}{\left(-\dfrac{d}{a}\right)}$

Simplificando esta fração, obtemos

$-\dfrac{c}{d}$

Desta forma, para encontrar o que buscamos, basta apenas substituir os valores destes coeficientes.

Sabendo que, neste caso, $c=4$ e $d=6$, teremos

$-\dfrac{4}{6}$

Simplifique a fração

$-\dfrac{2}{3}$

Este é o resultado da soma dos inversos das raízes desta equação.