Question

Qual das alternativas a seguir contém a função que é dada como uma solução para a equação diferencial ordinária dy/dx=y+5

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{y=Ce^x-5,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Esta é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem. Para resolvê-la, devemos relembrar de algumas propriedades de integração.

Seja a equação $\dfrac{dy}{dx}=y+5$

Multiplicamos ambos os lados por $dx$, tal que

$dy=(y+5)\,dx$

Então, dividimos ambos os lados por $y+5$, tal que $y\neq-5$

$\dfrac{dy}{y+5}=\,dx$

Integrando ambos os lados, temos

$\displaystyle{\int \dfrac{dy}{y+5}=\int dx}$

Do lado esquerdo, fazemos uma substituição $u=y+5$, então derivamos ambos os lados para encontrarmos o diferencial $du$:

$du=(y+5)'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Assim, teremos

$du=y'+5'$

Aplique a regra da potência

$du=1\,dy$

Substituindo estes dados na nossa integral, temos

$\displaystyle{\int \dfrac{du}{u}=\int dx}$

Na integral do lado esquerdo, lembre-se que $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|$ e, na integral do lado direito, $\displaystyle{\int 1\,dx=\int x^0\,dx=x$.

Aplique estas regras e adicione as constantes de integração

$\ln|u|+C_1=x+C_2$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da equação e considere $C_2-C_1=C_3$

$\ln|u|=x+C_3$

Desfaça a substituição $u=y+5$

$\ln|y+5|=x+C_3$

Lembrando das propriedades de logaritmos, fazemos

$y+5=e^{x+C_3}$

Lembre-se das propriedades do produto de potências de mesma base: mantém-se a base e somam-se os expoente. Logo, podemos reescrever

$y+5=e^x\cdot e^{C_3}$

Considerando $e^{C_3}=C$, temos

$y+5=Ce^x$

Subtraia $5$ em ambos os lados da equação

$y=Ce^x-5,~C\in\mathbb{R}$

Esta é a solução geral para esta equação diferencial.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo: