Question

Calcule a area entre a curva y = e^-x e o eixo x no primeiro quadrante.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{1~u.~a}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para determinarmos a área entre a curva $y=e^{-x}$ e o eixo das abscissas no primeiro quadrante, utilizaremos integrais.

Veja que o primeiro quadrante se trata do intervalo $x\in\left[0,+\infty\right]$.

Lembre-se que a integral entre duas curvas $f(x)$ e $g(x)$, contínuas num dado intervalo $[a,~b]$, tal que $f(x)\geq g(x)$ em todo o intervalo é dada por:

$\displaystyle{\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$

Dessa forma, consideremos que o eixo representa a equação $g(x)=0$, logo teremos

$\displaystyle{\int_0^{\infty} e^{-x}-0\,dx}$

Como zero é um elemento neutro para adição ou subtração, temos

$\displaystyle{\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx}$

Para calcularmos esta integral, faremos uma substituição.

Seja $u=-x$. Derivando implicitamente ambos os lados para encontrarmos o diferencial $du$, teremos

$du=-dx$

Logo, isolando $dx$, temos

$dx=-du$

Ao fazermos estas substituições, alteram-se os limites de integração para a variável em questão, logo quando $x=0,~u=0$ e quando $x\rightarrow \infty,~u\rightarrow-\infty$.

Substituindo estas informações na integral temos:

$\displaystyle{\int _{0}^{-\infty}e^u\,(-du)$

Aplicando a propriedade da integral do produto entre uma constante e uma função, temos

$\displaystyle{-\int _{0}^{-\infty}e^u\,du$

Sabendo que $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$, temos

$\displaystyle{\int _{-\infty}^{0}e^u\,du$

Sabendo que $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x}$, temos

$e^u~\biggr|_{-\infty}^0$

Por fim, lembre-se que de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo, a integral definida de uma função é calculada por $\displaystyle{\int_a^b f(x),dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é uma primitiva da função $f(x)$ e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$.

Lembre-se também que esta é uma integral imprópria, logo fazemos:

$e^0-\underset{u\rightarrow-\infty}{\lim} e^u$

Sabendo que $e^0=1$ e que a função exponencial decresce muito rápido quando os valores tendem ao menos infinito (ou seja, valores negativos muito grandes), temos

$1-0$

Some os termos

$1$

Esta é a área entre as curvas nestas condições.