Question

UMA RETA PASSA PELOS PONTOS A(3,5) E B(5,-1). DETERMINE A EQUAÇÃO GERAL DESSA RETA.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{3x+y-14=0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para determinarmos a equação geral da reta que passa pelos pontos $A$ e $B$, utilizaremos matrizes.

Dados dois pontos do plano $(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ e um ponto genérico $(x,~y)$, o determinante da matriz formada pelos pontos da seguinte forma deve ser igual a zero:

$\begin{vmatrix}x_1 & y_1 &1 \\ x_2&y_2 &1 \\ x& y & 1\end{vmatrix}=0$

Então, substituindo as coordenadas dos pontos $A~(3,~5)$ e $B~(5,~-1)$, teremos:

$\begin{vmatrix}3 & 5 &1 \\ 5&-1 &1 \\ x& y & 1\end{vmatrix}=0$

Para calcularmos este determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\left|\begin{matrix}3 & 5 &1 \\ 5&-1 &1 \\ x& y & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}3 & 5 \\ 5&-1 \\ x& y \end{matrix}\right.=0$

Aplique a regra de Sarrus:

$3\cdot(-1)\cdot 1+5\cdot1\cdot x+1\cdot 5\cdot y-(5\cdot 5\cdot 1+3\cdot 1\cdot y+1\cdot (-1)\cdot x)=0$

Multiplique os valores

$-3+5x+5y-(25+3y- x)=0$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e de sinais

$-3+5x+5y-25-3y+ x=0$

Some os termos semelhantes

$6x+2y-28=0$

Dividindo ambos os lados da equação por $2$, temos

$3x+y-14=0$

Esta é a equação geral da reta que passa por estes pontos.