Question

Calcule os sistemas usando o Sistema de Substituição e Bhaskara:
a) 2x + y = 14
x * y = 20

b) x + y = 9
2x * y = 28

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

2x – 4y = – 14

2x = 4y – 14

x = 4y – 14

2

x = 2y – 7

Agora substituiremos x = 2y – 7 na primeira equação:

x·y = 15

(2y – 7)·y = 15

2y² – 7y – 15 = 0

Para encontrar os possíveis valores de y, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)

Δ = 49 + 120

Δ = 169

y = – b ± √Δ

2.a

y = – (– 7) ± √169

2.2

y = 7 ± 13

4

y1 = 7 + 13

4

y1 = 20

4

y1 = 5

y2 = 7 – 13

4

y2 = – 6

4

y2 = – 3

2

Agora podemos substituir os valores encontrados para y em x·y = 15 com o objetivo de determinar os valores de x:

x1 · y1 = 15

x1 · 5 = 15

x1 = 15

5

x1 = 3

x2 · y2 = 15

x2 · (– 3) = 15

2

x2 = 15 . (– 2)

3

x2 = – 10

Podemos afirmar que a equação possui duas soluções do tipo (x, y), são elas: (3, 5) e (– 10, – 3/2).

2° Exemplo:

Para resolver esse sistema, utilizaremos o método da adição. Para tanto, vamos multiplicar a primeira equação por – 2. Nosso sistema ficará da seguinte forma:

(– 2x² + 2x²) + (– 4y² – 3y²) = (– 178 + 150)

0x² – 7y² = – 28

7y² = 28

y² = 28

7

y = ±√4

y1 = + 2

y2 = – 2

Agora nós podemos substituir os valores encontrados para y na primeira equação com o objetivo de obter os valores de x:

x² + 2y1² = 89

x² + 2.(2)² = 89

x² + 8 = 89

x² = 81

x = ±√81

x1 = + 9

x2 = – 9 x² + 2y2² = 89

x² + 2.(– 2)² = 89

x² + 8 = 89

x² = 81

x = ±√81

x3 = + 9

x4 = – 9

Podemos afirmar que a equação possui quatro soluções: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) e (– 9, – 2).

3° Exemplo:

Na resolução desse sistema de equações, utilizaremos o método da substituição. Na segunda equação, vamos isolar x:

2x – 3y = 2

2x = 3y + 2

x = 3y + 2

2

x = 3y + 1

2

Substituiremos x na primeira equação:

x² + 2y² = 1

(3y/2 + 1)² + 2y² = 1

9y² + 3y + 1 + 2y² = 1

4

Multiplicaremos toda a equação por 4:

9y² + 12 y + 4 + 8y² = 4

17y² + 12 y = 0

Para encontrar os possíveis valores de y, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 12² – 4.17. 0

Δ = 144

y = – b ± √Δ

2.a

y = – 12 ± √144

2.17

y = – 12 ± 12

34

Y1 = – 12 + 12

34

y1 = 0

34

y1 = 0 y2 = – 12 – 12

34

y2 = – 24

34

y2 = – 12

17

Substituindo os valores encontrados para y em 2x – 3y = 2, podemos determinar os valores de x:

2x – 3y1 = 2

2x – 3·0 = 2

2x – 0 = 2

x = 2

2

x1 = 1 2x – 3y2 = 2

2x – 3·(– 12/17)= 2

2x + 36 = 2

17

2x = 2 – 36

17

2x = – 2

17

x2 = – 1

17

Podemos afirmar que a equação possui duas soluções do tipo (x, y), são elas: (1, 0) e (– 1/17, – 12/17).