Question

Qual o conjunto dos numeros irracionais .

Answer 1

os números racionais, aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração  a / b onde a e b são dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemática da divisão por zero.

Vimos também, que todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico, também conhecido como dízima periódica. 



Vejam os exemplos de números racionais a seguir:

3 / 4 = 0,75 = 0,750000...

- 2 / 3 = - 0,666666...

1 / 3 = 0,333333...

2 / 1 = 2 = 2,0000...

4 / 3 = 1,333333...

- 3 / 2 = - 1,5 = - 1,50000...

0 = 0,000...  etc

Existe entretanto, uma outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração
a / b , conhecidos como números irracionais ,  os quais serão abordados de uma forma elementar neste capítulo.

2 – Os números irracionais

Assim como existem as dízimas periódicas, também existem as dízimas não periódicas  que são justamente os números irracionais, uma vez que elas nunca poderão ser expressas como uma fração do tipo a / b .

Exemplos de dízimas não periódicas ou números irracionais:

a) 1,01001000100001000001...

b) 3,141592654...

c) 2,7182818272...

d) 6,54504500450004...    etc

Existem dois tipos de números irracionais: os algébricos e os transcendentes.
Os números irracionais algébricos, são as raízes inexatas dos números racionais, a exemplo de Ö2 ,  Ö5 ,  Ö17 ,  Ö103 ,  ...  etc, ou qualquer outra raiz inexata.
 
Já os números irracionais transcendentes  complementam aqueles irracionais algébricos, sendo os exemplos mais famosos de números irracionais transcendentes, o número p (pi), o número de Euler  e , cujos valores aproximados com duas decimais são respectivamente 3,14  e  2,72 .

O número p  representa a razão do comprimento de qualquer circunferência dividido pelo diâmetro da mesma circunferência e o número  e  é a base do sistema de logaritmos neperianos.

É interessante comentar, que ao tratarmos na prática, dos números irracionais, deveremos sempre adotar os seus valores aproximados, uma vez que , por serem dízimas não periódicas, os valores adotados serão sempre aproximações.

Um exemplo clássico de não racionalidade de um número, é o caso da 
raiz quadrada de dois.
 
O   valor aproximado   da raiz quadrada de dois   ( Ö2 )  é igual a 1,414. Vamos analisar o porquê do número Ö2  não ser racional:

Para isto ,  vamos utilizar o método da redução ao absurdo, que consiste em negar a tese, e concluir pela negação da hipótese.

Vamos supor inicialmente, por absurdo,  que Ö2 seja um número racional.
Ora, neste caso, e se isto fosse verdadeiro, o número Ö2  poderia ser escrito na forma de uma fração irredutível   a / b , ou seja, com a e b primos entre si , e, portanto, teríamos:

Ö2 = a / b , onde a e b são inteiros, com b diferente de zero.

Quadrando ambos os membros da igualdade anterior, teremos:

2 = a2 / b2 , de onde tiramos   a2 = 2.b2 .

Ora, como  a2 é o dobro de b2, é correto afirmar que a é um número par.
Sendo  a  um número par, podemos escreve-lo na forma  a = 2k, onde k é um número inteiro. Daí, vem que: (2k)2 = 2b2 ou 4k2 = 2b2 , de onde tiramos que
b2 = 2k2 , ou seja, b também é par. Ora, sendo a  e b  pares, o quociente a / b não seria uma fração irredutível, já que o quociente de dois números pares é outro número par. Vemos portanto que isto nega a hipótese inicial de que a fração a / b seja irredutível, ou seja, de que a e b sejam primos entre si. Logo, concluímos que afirmar que Ö2 é racional , é falso , ou seja, Ö2 não é um número racional, e, portanto, Ö2  é um número irracional.

Nota: dois números inteiros são ditos primos entre si, se o máximo divisor comum
(MDC)  destes números for igual à unidade, ou seja: MDC (a,b) = 1.

3 – Identificação de números irracionais

Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que:

3.1 – todas as dízimas periódicas são números racionais.

3.2 – todos os números inteiros são racionais.

3.3 – todas as frações ordinárias são números racionais.

3.4 – todas a s dízimas não periódicas são números irracionais.

3.5 – todas as raízes inexatas são números irracionais.

3.6 – a soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional.

3.7 – a diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: Ö5 - Ö5 = 0 e 0 é um número racional.

3.8 – o quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: Ö8 : Ö2 = Ö4 = 2  e 2 é um número racional.

3.9 – o produto de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: Ö5 . Ö5 = Ö25 = 5 e 5 é um número racional.

3.10 – a união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num conjunto denominado conjunto R  dos números reais.

3.11 – a interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui elementos comuns e, portanto,  é igual ao conjunto vazio ( Æ ).

Simbolicamente, teremos:

Q U I = R Q Ç I = Æ

Answer 2

Números irracionais são aqueles que não fazem parte de um sistema pensado por nós, ou seja, não é racional, ninguém pensa neles da forma como são utilizados em exercícios, problemas reais e cálculos para diversos fins. Esses números são, em termos gerais, aqueles com vírgulas, não necessariamente precisando ser representados dessa forma.

Por exemplo, o número 2,5 é a mesma coisa do que 5/2. Ou então o número 1,4 é a mesma coisa do que √2.

Ou seja, números irracionais são aqueles que não são inteiros a partir da divisão de um número inteiro por outro.