Question

F(X) = x² E (-infinito, 1 ]
x +1, x E (1, infinito)

( "]" intervalo fechado e "(" aberto )

Sobre a função é possível inferir que

A) A função não possui derivada mas é contínua em x = 1.

B) A função possui derivada e é contínua em x = 1.

C) A função não possui derivada pois é descontínua em x = 1.

D) A função possui derivada e é descontínua em x = 1.

E) A função possui derivada e seu ponto de descontinuidade é em x = 0.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = \begin{cases} \sf x^{2}, \: x \in( - \infty,1] \\ \sf x + 1 , \: x \in (1 , \infty ) \end{cases}$

Vamos colocar aquela notação de intervalo em forma de conjuntos, pois fica mais fácil a interpretação da questão:

$\sf f(x) = \begin{cases} \sf x^{2}, \: \: - \infty < x \leqslant 1\\ \sf x + 1 , \: \: 1 < x < \infty \end{cases}$

Pronto, agora vamos partir para os cálculos de fato.

A partir dessa função, a questão faz as seguintes indagações:

a) A função não possui derivada mas é contínua em x = 1.

b) A função possui derivada e é contínua em x = 1.

c) A função não possui derivada pois é descontínua em x = 1.

d) A função possui derivada e é descontínua em x = 1.

e) A função possui derivada e seu ponto de descontinuidade é em x = 0.

Os itens d) e e) não fazem o menor sentido, pois se uma função é derivável em um ponto "x" ela é obrigatoriamente continua nesse mesmo ponto, então podemos descartar os itens d) e e).

Agora vamos verificar se essa função é ou não continua, dependendo do resultado mataremos a questão.

• Para uma função ser contínua em um ponto, ela deve cumprir três restrições, são elas:

$\sf 1) \: f(x) \rightarrow definida \\ \\ \sf 2)\lim_{x\rightarrow a {}^{ + } }f(x) = \lim_{x\rightarrow a {}^{ - } }f(x) \\ \\ \sf 3)\lim_{x\rightarrow a}f(x) = f(x)$

+ Vamos verificar a primeira restrição:

$\sf f(1) = x {}^{2} \\ \sf f(1) = 1 {}^{2} \\ \sf f(1) = 1 \: \:$

Sim, a função é definida.

+ Agora tem-se que os limites laterais devem ser iguais:

$\sf \lim_{x\rightarrow 1 {}^{ + } }f(x) = \lim_{x\rightarrow 1 {}^{ - } }f(x) \\ \\ \sf \lim_{x\rightarrow 1 {}^{ + } }x + 1 = \lim_{x\rightarrow 1 {}^{ - } }x {}^{2} \\ \\ \sf 1 + 1 = 1 {}^{2} \\ \\ \sf 2 = 1$

Opa, os limites laterais não são iguais, ou seja, a função não é contínua nesse ponto.

Certamente a resposta seria o item c), mas para não ficar apenas no achismo, vamos realizar o cálculo.

• Para uma função ser diferenciável (derivável) em um ponto, as derivadas laterais devem ser iguais $\sf f_{+}^{'}(x) = f_{-}^{'}(x)$.

+ Primeiro vamos verificar a derivada pela direita:

$\boxed{ \sf f_{+}^{'}(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 {}^{ + } } \frac{f(\Delta x + x) - f(x) }{\Delta x} }$

Cálculo das funções:

$\begin{cases} \sf f(1) = x {}^{2} \\ \sf f(1) = 1 {}^{2} \\ \sf f(1) = 1 \: \end{cases} \: \: \: \: \begin{cases} \sf f(\Delta x + x) =x + 1 \\ \sf f(\Delta x + 1) =\Delta x + 1 + 1 \\ \sf f(\Delta + 1) =\Delta x + 2\end{cases}$

Substituindo na relação:

$\sf f_{+}^{'}(1) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 {}^{ + } } \frac{\Delta x + 2 - 1 }{\Delta x} \\ \\ \sf \sf f_{+}^{'}(1) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 {}^{ + } } \frac{\Delta x + 1 }{\Delta x} \\ \\ \sf \sf f_{+}^{'}(1) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 {}^{ + } } \frac{0 + 1}{0} \\ \\ \boxed{ \sf \sf f_{+}^{'}(1) = \frac{1}{0} = + \infty }$

+ Derivada pela esquerda:

$\boxed{ \sf f_{ - }^{'}(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 {}^{ - } } \frac{f(\Delta x + x) - f(x) }{\Delta x} }$

Calculando as funções:

$\begin{cases} \sf f(1 ) = x {}^{2} \\ \sf f(1) = 1 {}^{2} \\ \sf f(1) = 1 \end{cases} \: \: \begin{cases} \sf f(\Delta x + 1) = x {}^{2} \\ \sf f(\Delta x + 1) = (\Delta x + 1) {}^{2} \\ \sf f( \Delta x + 1) =\Delta x {}^{2} + 2\Delta x + 1 \end{cases}$

Substituindo na relação:

$\sf f_{-}^{'}(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 {}^{ - } }\frac{\Delta x {}^{2} + 2\Delta x + 1 - 1}{\Delta x} \\ \\ \sf \sf f_{-}^{'}(1) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 {}^{ - } }\frac{\Delta x {}^{2} + 2\Delta x }{\Delta x} \\ \\ \sf \sf f_{-}^{'}(1) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 {}^{ - } }\frac{ \cancel{\Delta x}.(x {}^{2} + 2 ) }{ \cancel{\Delta x}} \\ \\ \sf \sf f_{ - }^{'}(1) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 {}^{ - } }x {}^{2} + 2 \\ \\ \sf \boxed{ \sf f_{-}^{'}(x) = 1 {}^{2} +2 = 3}$

As derivadas não foram iguais, então podemos marcar de fato o item c).

• Resposta: item c)

Espero ter ajudado