Question

A temperatura de uma estufa (em graus Celsius) é determinada, em função da hora ℎ do dia, pela expressão (ℎ)=−ℎ2+22ℎ−85 Responda:

a) em quais horários a temperatura é 0oC?
b) em que período(s) do dia a temperatura é positiva?Justifique sua resposta com o esboço do gráfico.
c) em que horário a temperatura é máxima? Qual é a temperatura máxima?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~h=5~\mathtt{ou}~h=17~|~b)~T>0~/~ h\in~]5,~17[~|~c)~h_{m\'ax}=11,~T_{m\'ax}=36~\°C}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para respondermos estas alternativas, devemos relembrar algumas propriedades estudadas no gráfico de funções quadráticas.

Seja a temperatura da estufa $T$, em função da hora do dia $h$, dada por $T(h)=-h^2+22h-85$.

a) Em quais horários a temperatura é $0~\°C$?

Pergunta-se para quais valores de $h$ a função $T(h)=0$. Dessa forma, teremos:

$-h^2+22h-85=0$

Para encontrarmos o valor de $h$, utilizamos a fórmula resolutiva de uma equação quadrática:

$h=\dfrac{-22\pm\sqrt{22^2-4\cdot(-1)\cdot (-85)}}{2\cdot (-1)}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$h=\dfrac{-22\pm\sqrt{484-340}}{-2}$

Some os valores no radicando

$h=\dfrac{-22\pm\sqrt{144}}{-2}$

Sabendo que $144=12^2$, temos

$h=\dfrac{-22\pm12}{-2}$

Separe as soluções

$h=\dfrac{-22-12}{-2}~~~\mathtt{ou}~~~h=\dfrac{-22+12}{-2}$

Some os valores

$h=\dfrac{-34}{-2}~~~\mathtt{ou}~~~h=\dfrac{-10}{-2}$

Simplifique as frações

$h=17~~~\mathtt{ou}~~~h=5$

Dessa forma, a temperatura é igual a zero nas horas $h=5$ e $h=17$ do dia.

b) Em que(ais) período(s) do dia a temperatura é positiva?

Veja que queremos o intervalo para o qual a temperatura assume valores positivos. Observe o gráfico em anexo: Temos a parábola que representa a função $T(h)$.

Quando fazemos um estudo do sinal desta função, vemos que a parábola tem concavidade para baixo, dessa forma, os valores que estão entre as raízes da função serão positivos.

Dessa forma, assim como vemos no gráfico, o intervalo que contém as horas do dia para as quais a temperatura é positiva é $]5,~17[$.

c) Em que horário a temperatura é máxima? Qual é essa temperatura?

Para isso, devemos relembrar da fórmula para o cálculo do vértice da parábola. Dados os coeficientes da função, assim como utilizamos para calcularmos suas raízes, teremos as coordenadas dos vértices e suas fórmulas:

$x_v=-\dfrac{b}{2a}~~~\mathtt{e}~~~y_v=-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$

Neste caso, ainda pelo estudo do sinal da função, ao vermos que a parábola tem concavidade para baixo, também sabemos que ela tem ponto de máximo. Então, a hora $h_{m\'ax}$  será a abcissa do vértice e a temperatura $T_{m\'ax}$ será dada pela ordenada do vértice:

$h_{m\'ax}=-\dfrac{22}{2\cdot(-1)}~~~\mathtt{e}~~~T_{m\'ax}=-\dfrac{22^2-4\cdot(-1)\cdot(-85)}{4\cdot(-1)}$

Calcule as potências e multiplique os valores

$h_{m\'ax}=\dfrac{22}{2}~~~\mathtt{e}~~~T_{m\'ax}=\dfrac{484-340}{4}$

Some os valores

$h_{m\'ax}=\dfrac{22}{2}~~~\mathtt{e}~~~T_{m\'ax}=\dfrac{144}{4}$

Simplifique as frações

$h_{m\'ax}=11~~~\mathtt{e}~~~T_{m\'ax}=36$

Assim, vimos que na hora $h=11$, a temperatura máxima de $36~\°C$ é atingida.