Question

Determine a derivada de segunda ordem da função definida por f ( x ) = x ⁵ − 3 x ² + 3​

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = x {}^{5} - 3x {}^{2} + 3$

A derivada de segunda ordem dessa função não é nada mais nada menos que a derivada da derivada da função, ou seja, devemos derivar duas vezes.

• Derivada primeira:

Vamos derivar y em relação à x, então:

$\sf \frac{dy}{dx} = x {}^{5} - 3x {}^{2} + 3$

Para resolver essa derivada, devemos lembrar da derivada da soma e a regra da potência.

• Regra da potência:

Essa regra é dada pela transferência do expoente para a função de coeficiente e a subtração de uma unidade do antigo expoente, sendo esse o novo, essa regra é dada pela relação:

$\boxed{ \sf \frac{d}{dx} x {}^{n} = n.x {}^{n - 1} }$

• Derivada da soma:

O próprio nome sugere o que deve ser feito, pois a derivada da soma de funções é igual a soma de cada uma dessas funções, então:

$\boxed{ \sf \frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x) }$

Aplicando as devidas regras, temos que:

$\sf \frac{dy}{dx} = 5x {}^{5 - 1} - 2.3x {}^{2 - 1} + 0 \\ \\ \boxed{\sf \frac{dy}{dx} = 5x {}^{4} - 6x}$

Outra regra que eu esqueci de citar, é que a derivada de uma constante é igual a "0", por esse motivo a derivada do 3 foi igual a "0".

• Derivada segunda:

Aplicando as mesmas regras nessa função derivada:

$\sf \frac{d {}^{2}y }{d x} = 4.5x {}^{4 - 1} - 1.6x {}^{1 - 1} \\ \\ \boxed{ \sf \frac{d {}^{2} y}{d x } = 20x {}^{3} - 6}$

Espero ter ajudado