Question

A expressão cotg ²x + 1 = cossec² x é equivalente a: * cotg x = cossec x - 1 cotg x = cossec x + 1 cotg² x = cossec x - 1 cotg² x = cossec² x - 1

Answer 1

A questão nos pede para demonstrar que essas duas expressões são equivalentes.

$\sf cotg {}^{2} x = cossec {}^{2}x - 1$

Para provar essa equivalência, vamos partir da relação fundamental da trigonometria dividindo a mesma por sen²x:

$\sf sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1 \: \: \: (\div sen {}^{2} x) \\ \\ \sf \frac{ sen {}^{2} x }{sen {}^{2}x } + \frac{cos {}^{2}x }{sen {}^{2}x } = \frac{1}{sen {}^{2}x } \\ \\ \sf 1 + \frac{cos {}^{2} x}{sen {}^{2}x } = \frac{1}{sen {}^{2} x}$

Se você perceber, temos a cotangente, que é dada por:

$\boxed{ \sf cotgx = \frac{cosx}{senx} }$

Só que ela estará ao quadrado, então:

$\sf 1 + cotg {}^{2} x = \frac{1}{sen {}^{2}x }$

Ali na fração temos a cossecante, dada por:

$\boxed{\sf cossecx = \frac{1}{senx} }$

Só que ela também estará ao quadrado, então:

$\sf 1 + cotg {}^{2} x = cossec {}^{2} x$

Por fim, basta passar o (-1) para o outro lado:

$\boxed{\sf cotg {}^{2} x = cossec {}^{2} x - 1}$

Espero ter ajudado