Respostas
Resposta:
Vamos chamar de um certo "y" cada questão proposta nas letras "a", "b" e "c", para deixá-las igualadas a alguma coisa. Assim, teremos:
a) y = sen(x-π/2) - cos(x+π/2) ---- para facilitar, vamos substituir π por 180º, que é o que ele vale em graus. Então teremos:
y = sen(x-180º/2) - cos(x+180º/2) ---- como 180º/2 = 90º, teremos:
y = sen(x-90º) - cos(x+90º)
Agora vamos aplicar a fórmula para:
sen(a-b) = sen(a).cos(b) - sen(b).cos(a).
e
cos(a+b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b)
Assim, fazendo essa aplicação na nossa expressão "y", teremos:
y = sen(x).cos(90º) - sen(90º).cos(x) - [cos(x).cos(90º) - sen(x).sen(90º)]
Agora note que cos(90º) = 0 e sen(90º) = 1. Assim, ficaremos:
y = sen(x).0 - 1.cos(x) - [cos(x).0 - sen(x).1] ---- desenvolvendo,temos:
y = 0 - cos(x) - [0 - sen(x)] ---- ou apenas:
y = - cos(x) - [- sen(x)] --- retirando-se os colchetes, teremos:
y = - cos(x) + sen(x) ---- ou, o que é a mesma coisa (a ordem das parcelas não altera a soma) :
y = sen(x) - cos(x) <--- Esta é a resposta para o item "a".
b) y = sen(π - x) - cos(π/2 - x) - tan(2π - x) ---- fazendo substituições idênticas às que fizemos na questão anterior, então vamos substituir π por 180º. Assim teremos:
y = sen(180º-x) - cos(90º-x) - tan(360º-x)
Vamos aplicar as fórmulas de:
sen(a-b) = sen(a).cos(b) - sen(b).cos(a)
cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)
tan(a-b) = [tan(a)-tan(b)/[1+tan(a).tan(b)]
Assim, fazendo as devidas aplicações na nossa expressão "y", teremos;
y = sen(180º).cos(x) - sen(x).cos(180º) - [cos(90º).cos(x) + sen(90º).sen(x)] - [(tan(360º-tan(x))/(1+tan(360º.tan(x)]
Veja que sen(180º = 0; cos(90º) = 0; tan(360º) = 0; cos(180º) = -1; sen(90º) = 1. Assim, fazendo essas substituições, teremos:
y = 0.cos(x) - sen(x)*(-1) - [0.cos(x) + 1.sen(x)] - [0-tan(x)]/[1+0.tan(x)] ---- desenvolvendo, teremos:
y = 0 + sen(x) - [0 + sen(x)] - [-tan(x)/1] --- ou apenas:
y = sen(x) - [sen(x)] - [-tan(x)] ---- retirando-se os colchetes, teremos:
y = sen(x) - sen(x) + tan(x) --- como sen(x) se anula com -sen(x), ficaremos:
y = tan(x) <--- Esta é a resposta para o item "b".
c) y = tan(x+π/2) + cotg(x) --- substituindo-se π por 180º, ficaremos com:
y = tan(x+90º) + cotg(x) ---- para facilitar a compreensão, vamos substituir tan(x+90º) por sen(x+90º)/cos(x+90º), pois como você deve saber, tem-se que tan(x) = sen(x)/cos(x). Então ficaremos com:
y = sen(x+90º)/cos(x+90º) + cotg(x) ---- vamos desenvolver, com a aplicação das fórmulas de sen(a+b) e cos(a+b), que já vimos antes. Assim, ficaremos com:
y = [sen(x).cos(90º) + sen(90º).cos(x)]/[cos(x).cos(90º) - sen(x).sen(90º)] + cotg(x) ------- como já sabemos quanto é cos(90º) e sen(90º), pois já vimos antes, teremos:
y = [sen(x).0 + 1.cos(x)]/[cos(x).0 - sen(x).1] + cotg(x) ---- desenvolvendo, teremos:
y = [0 + cos(x)]/(0 - sen(x)] + cotg(x) ----- ou apenas:
y = [cos(x)]/[-sen(x)] + cotg(x) ---- vamos colocar o sinal de menos do denominador para antes da expressão, ficando assim:
y = -[cos(x)/sen(x)] + cotg(x)
Agora veja isto e não esqueça mais: se tan(x) = sen(x)/cos(x), e considerando que cotg(x) é o inverso da tangente, então teremos que: cotg(x) = cos(x)/sen(x). E note que temos exatamente isto aqui na nossa expressão "y":
y = -cos(x)/sen(x) + cotg(x) ---- substituindo-se "cos(x)/sen(x)" por cotg(x), teremos:
y = - cotg(x) + cotg(x) ---- veja que um fator se anula com o outro, ficando:
y = 0 <---- Esta é a resposta para o item "c".