Question

A equação da circunferência com diâmetro AB, sendo A(-1,3) e B(5,1) é:

a) x2 + y2 – x + 3y – 6 = 0;
b) x2 + y2 + 5x + y - 3 = 0;
c) x2 + y2 - 4x – 4y + 4 = 0;
d) x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0;
e) x2 + y2 - 2x – 2y – 4 = 0.

Answer 1

Sabendo o diâmetro de uma circunferência podemos encontrar seu raio dividindo-o por dois. Usaremos a fórmula de distancia de dois pontos com as coordenadas de A e B para encontrar o diâmetro.

$D_{AB} = \sqrt{(5+1)^2+(1-3)^2}\\\\D_{AB} = \sqrt{36+4}\\\\D_{AB} = \sqrt{40}\\\\\\D_{AB} = 2\sqrt{10}$

O raio da circunferência é então:

$\dfrac{D_{AB}}2 = \sqrt{10}$

Devemos saber também o centro da circunferência. Como o segmento AB é diâmetro, o ponto médio dele será o centro. Este ponto é dado pela média aritmética das coordenadas de x e y dos pontos A e B. Assim, o centro será:

$C = \left (\dfrac{-1+5}{2}, \dfrac{3+1}{2} \right)\\\\\\C = \left (\dfrac{4}{2}, \dfrac{4}{2} \right)\\\\\\C = (2,2)$

A equação da circunferência é dada por:

$(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = r^2$

Onde $x_c, y_c$ são as coordenadas do centro da circunferência e r o raio. Assim, temos:

$(x - 2)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{10})^2\\\\x^2 -4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 10\\\\x^2 + y^2 -4x- 4y - 2 = 0$

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