Question

esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis nem sempre é uma tarefa fácil..

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que as curvas de níveis da referida função polinomial em duas variáveis para z = 0 e para z = 1, são, respectivamente:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n_{0}: x^{2} + y^{2} = 4\:\:\:}}\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n_{1}: x^{2} + y^{2} = 3\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

          $\Large\begin{cases} f(x, y) = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}\\n_{0} = \:?\\n_{1} = \:?\end{cases}$

Curvas de níveis nada mais são do que projeções no plano "xy" das interseções da superfície com cada um dos planos paralelos z = k.

Para calcular uma determinada curva de nível basta utilizarmos a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = k,\:\:\:\forall k \in\mathbb{R}\end{gathered}$

Onde "k" é a constante, ou seja, a cota do espaço tridimensional.

Com essas informações em mãos, podemos:

• Calcular a curva de nível da função para z = 0.

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = 0\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} = 0\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} (\sqrt[\!\diagup\!\!]{4 - x^{2} - y^{2}})^{\!\diagup\!\!\!\!2} = 0^{2}\end{gathered} }$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4 - x^{2} - y^{2} = 0\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x^{2} - y^{2} = -4\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + y^{2} = 4\end{gathered}$

       Portanto, a curva de nível para z = 0 é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} n_{0}: x^{2} + y^{2} = 4\end{gathered}$  

• Calcular a curva de nível da função para z = 1.

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = 1\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} = 1\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} (\sqrt[\!\diagup\!\!]{4 - x^{2} - y^{2}})^{\!\diagup\!\!\!\!2} = 1^{2}\end{gathered} }$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 4 - x^{2} - y^{2} = 1\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x^{2} - y^{2} = 1 - 4\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x^{2} - y^{2} = -3\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + y^{2} = 3\end{gathered}$

        Portanto, a curva de nível para z = 1 é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} n_{1}: x^{2} + y^{2} = 3\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$