Question

Mostre detalhadamente a área do triangulo ABC a seguir é igual 1,5 cm²

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{A=1.5~cm^2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades estudadas no triângulo retângulo.

Observe a imagem em anexo: temos um triângulo retângulo de catetos $b$ e $c$ e hipotenusa $a$. Ao ligarmos o vértice oposto à hipotenusa à sua projeção ortogonal nela, determinamos a altura relativa $h$.

A partir do Teorema de Pitágoras, temos:

$a^2=b^2+c^2$

Ao determinarmos a altura, dividimos a hipotenusa em duas partes $m$ e $n$, tal que $a=m+n$.

O mesmo pode ser visto com a altura, assim teremos dois outros triângulos retângulos e, ao aplicarmos o teorema, teremos o sistema de equações:

$\begin{cases}b^2=h^2+m^2\\ c^2=h^2+n^2\\\end{cases}$

Substituindo estes valores na primeira equação, teremos

$(m+n)^2=h^2+m^2+h^2+n^2$

Expandindo o binômio e somando os termos semelhantes, temos

$m^2+2mn+n^2=m^2+2h^2+n^2$

Facilmente, podemos ver que $2h^2=2mn$, logo

$h^2=mn$

Assim, ao substituirmos esta expressão em nosso sistema, temos

$\begin{cases}b^2=mn+m^2\\ c^2=mn+n^2\\\end{cases}$

Fatorando estas expressões, facimente vemos que

$\begin{cases}b^2=(m+n)\cdot m\\ c^2=(m+n)\cdot n\\\end{cases}$

Voltando para a questão, temos o cateto $b=1.5$ e a projeção $n=1.6$, em centímetros.

Utilizando a primeira equação, podemos encontrar o valor de $m$

$1.5^2=(m+1.6)\cdot m$

Efetue a propriedade distributiva e calcule a potência

$2.25=m^2+1.6m$

Subtraindo $2.25$ em ambos os lados da equação, temos

$m^2+1.6m-2.25=0$

Utilizando a fórmula resolutiva de equações quadráticas, temos:

$m=\dfrac{-1.6\pm\sqrt{1.6^2-4\cdot1\cdot(-2.25)}}{2\cdot 1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$m=\dfrac{-1.6\pm\sqrt{2.56+9}}{2}$

Some os valores

$m=\dfrac{-1.6\pm\sqrt{11.56}}{2}$

Calculando a raiz, temos

$m=\dfrac{-1.6\pm3.4}{2}$

Assumimos somente a solução positiva, por se tratar de uma figura geométrica. Assim, teremos:

$m=\dfrac{-1.6+3.4}{2}$

Some os valores e simplifique a fração

$m=\dfrac{1.8}{2}\\\\\\ m=0.9$

Substituindo este valor na segunda equação do sistema, temos

$c^2=(0.9+1.6)\cdot 1.6$

Some e multiplique os valores

$c^2=2.5\cdot 1.6\\\\\ c^2=4$

Retire a raiz em ambos os lados da equação, assumindo a solução positiva

$c=2$

Sabendo que a área $A$ de um triângulo retângulo em função dos catetos $b$ e $c$ é dada por: $A=\dfrac{b\cdot c}{2}$, teremos:

$A=\dfrac{1.5\cdot 2}{2}$

Simplifique a fração

$A=1.5~\mathbf{cm^2}$

Esta é a área deste triângulo.