Question

O lado a de um triângulo abc tem 12 cm e o perímetro 27. Calcular os outros dois lados, sabendo-se que a distância entre as intersecções das bissetrizes interna e externa com o lado a e seu prolongamento é de 16 cm.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\texttt{Os outros lados medem 5 e 10 cm.}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá Gabriel!

A questão será solucionada aplicando o corolário que trata sobre a bissetriz interna e externa. Em seguida, a definição do Círculo de Apolonius. Mas, se preferir, podes utilizar o Teorema da bissetriz interna para concluir.

Inicialmente, desenhe um triângulo ABC, qualquer, de base BC. Em seguida, trace as bissetrizes do vértice A, conforme enunciado. Tome D e D' as intersecções dos pés da bissetrizes interna e externa, respectivamente, com o lado a e seu prolongamento.

Ademais, considere o corolário abaixo:

Seja ABC um triângulo qualquer e $\displaystyle \mathbf{\overline{AD}}$ e $\displaystyle \mathbf{\overline{AD'}}$ as bissetrizes interna e externa, respectivamente. Então, os lados adjacentes ao lado oposto ao vértice do qual partem as bissetrizes estão na mesma razão $\displaystyle \mathbf{k}}$.

Em símbolos, $\displaystyle \boxed{\mathtt{\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}} = k = \frac{\overline{D'B}}{\overline{D'C}}}}$

Onde, $\displaystyle \mathtt{k \in \mathbb{R}_{+}^{\ast}}$.

De acordo com o enunciado, $\displaystyle \mathtt{\overline{BC} = 12 \, cm}$. Considerando $\displaystyle \mathtt{\overline{BD} = x}$, teremos:

$\\ \displaystyle \mathsf{\overline{BC} = 12} \\ \mathsf{\overline{BD} + \overline{DC} = 12} \\ \boxed{\mathsf{\overline{DC} = 12 - x}}$

Além disso, segundo o enunciado, $\displaystyle \mathtt{\overline{DD'} = 16 \, cm}$. Daí,

$\\ \displaystyle \mathsf{\overline{DD'} = 16} \\ \mathsf{\overline{DC} + \overline{CD'} = 16} \\ \mathsf{12 - x + \overline{CD'} = 16} \\ \boxed{\mathsf{\overline{CD'} = 4 + x}}$

Aplicando o corolário,

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}} = k = \frac{\overline{D'B}}{\overline{D'C}}} \\\\\\ \mathsf{\frac{x}{12 - x} = k = \frac{x + (12 - x) + (4 + x)}{4 + x}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\frac{x}{12 - x} = k = \frac{x + 16}{4 + x}}}$

Considerando a igualdade entre a primeira e a última razão...

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{x}{12 - x} = \frac{x + 16}{4 + x}} \\\\ \mathsf{x(4 + x) = (12 - x)(x + 16)} \\\\ \mathsf{4x + x^2 = 12x + 12 \cdot 16 - x^2 - 16x} \\\\ \mathsf{2x^2 + 8x - 12 \cdot 16 = 0 \qquad \qquad \div (2} \\\\ \mathsf{x^2 + 4x - 12 \cdot 8 = 0} \\\\ \mathsf{(x + 12)(x - 8) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{S = \left \{ 8 \right \}}}$

Portanto, temos que $\displaystyle \boxed{\mathtt{\overline{BD} = 8 \, cm}}$, $\displaystyle \boxed{\mathtt{\overline{DC} = 4 \, cm}}$ e $\displaystyle \boxed{\mathtt{\overline{CD'} = 12 \, cm}}$$.

Inclusive,

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{x}{12 - x} = k} \\\\ \mathsf{\frac{8}{12 - 8} = k} \\\\ \mathsf{\frac{8}{4} = k} \\\\ \boxed{\mathsf{k = 2}}$

Gabriel, para determinar os outros dois lados precisamos saber que:

Os pontos $\displaystyle \mathtt{D}$ e $\displaystyle \mathtt{D'}$ são conjugados harmônicos do segmento $\displaystyle \mathtt{\overline{BC}}$ na razão $\displaystyle \mathtt{k}$ e $\displaystyle \mathtt{\overline{AD} \perp \overline{AD'}}$. Com efeito, o círculo de diâmetro $\displaystyle \mathtt{\overline{DD'}}$ será o LUGAR GEOMÉTRICO dos pontos $\displaystyle \mathtt{A}$ tais que

$\displaystyle \boxed{\mathtt{\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = k}}$

Segue.

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = k} \\\\\\ \mathsf{\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = 2} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{AB} = 2 \cdot \overline{AC}}}$

Por fim, considerando que o perímetro vale $27 \, cm$, segundo enunciado, temos:

$\\ \displaystyle \mathsf{2p = 27} \\\\ \mathsf{a + \overline{AB} + \overline{AC} = 27} \\\\ \mathsf{12 + 2 \cdot \overline{AC} + \overline{AC} = 27} \\\\ \mathsf{3 \cdot \overline{AC} = 15} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\overline{AC} = 5 \, cm}}}$

E,

$\\ \displaystyle \mathsf{\overline{AB} = 2 \cdot \overline{AC}} \\\\ \mathsf{\overline{AB} = 2 \cdot 5} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\overline{AB} = 10 \, cm}}}$