Question

Sejam f(x)=ln(3+sen(hx)), g(x) e h(x)=f(x)g(x) funções diferenciáveis em x=0. Sabe-se que g(0)=4ln3 g′(0)=−7 e h′(0)=8ln(3). O valor de 4h é: A. 57 B. 54 C. 51 D. 45 E. 48

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{d)~45}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas técnicas de derivação.

Sejam as funções $f(x)=\ln(3+\sin(hx))$, $g(x)$ e $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ funções diferenciáveis em $x=0$. Nos foram dados que: $g(0)=4\ln3$, $g'(0)=-7$ e $h'(0)=8\ln3$ e buscamos o valor de $4h$.

Então, comecemos derivando a função $h(x)$ utilizando a regra do produto:

$h'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

Agora, diferenciamos a função $f(x)$, para que possamos substituir em $h'(x)$:

$f'(x)=(\ln(3+\sin(hx)))'$

Aqui, lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função logaritmo natural é dada por: $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno.

Dessa forma, teremos:

$f'(x)=(3+\sin(hx))'\cdot \dfrac{1}{3+\sin(hx)}$

Aplique a regra da soma

$f'(x)=(3'+\sin(hx)')\cdot \dfrac{1}{3+\sin(hx)}$

Aplique a regra da constante e da cadeia em $\sin(hx)$

$f'(x)=(0+(hx)'\cdot \cos(hx))\cdot \dfrac{1}{3+\sin(hx)}$

Sabendo que $h$ é uma constante, lembre-se que:

• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada pelo produto entre a constante e a derivada da função: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Assim, teremos:

$f'(x)=(0+h\cdot \cos(hx))\cdot \dfrac{1}{3+\sin(hx)}$

Some e multiplique os valores

$f'(x)=\dfrac{h\cdot\cos(hx)}{3+\sin(hx)}$

Substituindo esta derivada em $h'(x)$, teremos:

$h'(x)=\dfrac{h\cdot\cos(hx)}{3+\sin(hx)}\cdot g(x)+\ln(3+\sin(hx))\cdot g'(x)$

Então, fazemos $x=0$ e substituímos os valores que foram dados no enunciado:

$h'(0)=\dfrac{h\cdot\cos(h\cdot 0)}{3+\sin(h\cdot 0)}\cdot g(0)+\ln(3+\sin(h\cdot 0))\cdot g'(0)\\\\\\\\ 8\ln3=\dfrac{h\cdot\cos(0)}{3+\sin(0)}\cdot 4\ln3+\ln(3+\sin(0))\cdot (-7)$

Sabendo que $\sin(0)=0$ e $\cos(0)=1$, multiplique os valores

$8\ln3=\dfrac{4h\ln3}{3}-7\ln3$

Some $7\ln3$ em ambos os lados da equação

$8\ln3+7\ln3=\dfrac{4h\ln3}{3}\\\\\\\\ \dfrac{4h\ln3}{3}=15\ln3$

Multiplique ambos os lados da equação por $3$

$4h\ln3=45\ln3$

Divida ambos os lados da equação por $\ln3$

$4h=45$

Este é o valor que procurávamos e é a resposta contida na letra d).