Question

Ajudem, por favor... Determine L para que a função dada seja contínua no ponto p = 1. Justifique.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = \begin{cases} \frac{x {}^{2} - x}{x - 1} \: \: se \: \:x > 1 \\ 2 - x \: \: se \: x < 1 \\L \: \: se \: \: x = 1 \end{cases}$

A partir dessa função a questão pede para encontramos o valor de L para que a função f(x) seja contínua, para isso devemos lembrar das 3 condições de continuidade de uma função, são elas:

$\boxed{ \sf 1) \: f(x) \rightarrow definida }\: \: \: \: \boxed{\sf2)\lim_{x\rightarrow a {}^{ + } }</p><p>f(x) = \lim_{x\rightarrow a {}^{ - } }f(x)} \: \: \: \: \boxed{ \sf 3)\lim_{x\rightarrow a}</p><p>f(x) = f(x)}$

• 1) A função f(x) deve ser definida;

• 2) Os limites laterais com o "x" tendendo ao ponto que está sendo estudado devem ser iguais, ou seja, o limite bilateral deve existir;

• 3) A função f(x) deve ser igual ao limite bilateral.

Aplicando essas três restrições:

« Restrição 1 »

$\sf 1) \: f(1) = L$

Digamos que f(1) seja sim definida.

« Restrição 2 »

$\sf \lim_{x\rightarrow 1 {}^{ + } }f(x) = </p><p>\lim_{x\rightarrow 1 {}^{ - } }f(x) \\ </p><p>$

Para o limite tendendo a direta de 1, ou seja, valores maiores que 1, devemos usar a função x²-x/x-1 já que a mesma deve ser usada quando se x > 1. Para o limite tendendo a esquerda de 1, ou seja, valores menores que 1, devemos usar a função 2 - x, já que a mesma deve ser usada se x for menor que 1.

$\sf \lim_{x\rightarrow 1 {}^{ + } } \frac{x {}^{2} - x}{x - 1} = </p><p>\lim_{x\rightarrow 1 {}^{ - } }2 - x\\ </p><p> \\ \sf \lim_{x\rightarrow 1 {}^{ + } }</p><p> \frac{x.(x - 1)}{(x - 1)} = \lim_{x\rightarrow 1 {}^{ - } }2 - x \\ \\ \sf \lim_{x\rightarrow 1 {}^{ + } } x = \lim_{x\rightarrow 1 {}^{ - } }2 - x \\ \\ \sf1 = 2 - 1 \\ \\ \boxed{\sf1 = 1} \: \: \: \exists \lim_{x\rightarrow 1}f(x)</p><p></p><p></p><p></p><p>$

« Restrição 3 »

O limite bilateral deve ser igual a função f(x), então:

$\sf\lim_{x\rightarrow 1}f(x) = f(x) \\ \sf 1 = L \\ \boxed{\sf L = 1}</p><p>$

Espero ter ajudado

Answer 2

$\large\boxed{\begin{array}{l}\underline{\rm D\!\,efinic_{\!\!,}\tilde ao~de~func_{\!\!,}\tilde ao~cont\acute inua}\\\sf dizemos~que~uma~func_{\!\!,}\tilde ao~\acute e~cont\acute inua~em~x=p~quando:\\\checkmark\sf f(p)~est\acute a~d\!\,efinida\\\checkmark\displaystyle\sf \lim_{x \to p}f(x)~existe\\\checkmark\displaystyle\sf \lim_{x \to p}f(x)=f(p)\end{array}}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf Determine~L~para~que~a~func_{\!\!,}\tilde ao~dada~seja~\\\sf cont\acute inua~no~ponto~p=1. Justifique\\\rm f(x)=\begin{cases}\rm\dfrac{x^2-x}{x-1}~~,se~~x>1\\\rm 2-x~~~~,se~~x<1\\\rm L~~~~~~~~\,\,,se~~\!\!~x=1\end{cases}\end{array}}$

$\boxed{\begin{array}{l}\underline{\rm soluc_{\!\!,}\tilde ao}\\\sf \checkmark f(1)=L\\\displaystyle\sf \lim_{ x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2-x}{x-1}\\\displaystyle\sf\lim_{ x\to 1}\dfrac{x\cdot\diagdown\!\!\!\!\!(x-\diagdown\!\!\!\!1)}{\diagdown\!\!\!\!\!(x-\diagdown\!\!\!1)}\implies \lim_{x \to 1} x=1.\\\displaystyle\sf \lim_{x \to 1^{-}}f(x)=\lim_{x \to 1}2-x=2-1=1\\\displaystyle\sf como~\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}f(x)\\\checkmark\displaystyle\sf \lim_{x \to 1} f(x)=1\end{array}}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf para~que~f(x)~seja~cont\acute inua~em~x=1\\\sf devemos~dizer~que\\\displaystyle\sf \lim_{x \to 1}f(x)=f(1)\\\sf como~f(1)=L~e~\displaystyle\sf\lim_{x \to 1}f(x)=1\\\sf podemos~concluir~que\\\sf L=1\end{array}}$