Question

Sabe-se que o ponto P(x0,y0) está sobre a curva x4/332+y4/326=1 de tal forma que a reta tangente à curva no ponto P determina junto com os eixos coordenados um triângulo de área 8. O valor de x0y0−−−−√3 é Escolha uma: A. 57 B. 55 C. 46 D. 58 E. 52

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{e)~52}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas técnicas de derivação e da equação da reta tangente.

Sabendo que o ponto $P~(x_0,~y_0)$ está sobre a curva $\dfrac{x^{\frac{4}{3}}}{32}+\dfrac{y^{\frac{4}{3}}}{26}=1$, tal que sua reta tangente determina junto com os eixos coordenados um triângulo de área 8.

Veja a imagem em anexo

Digamos que os pontos de intersecção da reta tangente à curva e os eixos sejam, respectivamente, $(x_1,~0)$ e $(0,~y_1)$.

Para encontrarmos a reta tangente, calculamos primeiro o coeficiente angular desta reta, derivando a equação da curva em respeito à variável $x$.

Teremos:

$\left(\dfrac{x^{\frac{4}{3}}}{32}+\dfrac{y^{\frac{4}{3}}}{26}\right)'=1'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções, ou seja: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada pelo produto entre a constante e a derivada da função: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada implícita de uma função é calculada pela regra da cadeia.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplicando a regra da soma e da constante, teremos

$\dfrac{1}{32}\cdot(x^{\frac{4}{3}})'+\dfrac{1}{26}\cdot(y^{\frac{4}{3}})'=0$

Aplique a regra da potência e a regra da cadeia em $y$

$\dfrac{1}{32}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot x^{\frac{4}{3}-1}+\dfrac{1}{26}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot y^{\frac{4}{3}-1}\cdot y'=0$

Some os valores no expoente

$\dfrac{1}{32}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}}+\dfrac{1}{26}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot y^{\frac{1}{3}}\cdot y'=0$

Isole $y'$

$\dfrac{1}{26}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot y^{\frac{1}{3}}\cdot y'=-\dfrac{1}{32}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}}\\\\\\ \dfrac{4}{3}\cdot y^{\frac{1}{3}}\cdot y'=-\dfrac{26}{32}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}}$

Cancele os termos opostos nos lados da desigualdade

$y^{\frac{1}{3}}\cdot y'=-\dfrac{26}{32}\cdot x^{\frac{1}{3}}$

Divida ambos os lados da equação por $y^{\frac{1}{3}}$

$y'=-\dfrac{26}{32}\cdot \dfrac{x^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Este é o coeficiente angular da reta tangente.

Então, utilizamos a fórmula para a equação da reta tangente: $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$. Substituímos $f(x_0)=y_0$ e $y'=f'(x)$:

$f(x)=y_0-\dfrac{26}{32}\cdot\dfrac{{x_0}^{\frac{1}{3}}}{{y_0}^{\frac{1}{3}}}\cdot(x-x_0)$

Então, considere os pontos ditos como intersecção da reta tangente com os eixos coordenados. Teremos, separadamente:

Em $(x_1,~0)$

$0=y_0-\dfrac{26}{32}\cdot\dfrac{{x_0}^{\frac{1}{3}}}{{y_0}^{\frac{1}{3}}}\cdot(x_1-x_0)$

Efetuamos a propriedade distributiva da multiplicação

$0=y_0-\dfrac{26}{32}\cdot\dfrac{{x_0}^{\frac{1}{3}}}{{y_0}^{\frac{1}{3}}}\cdot x_1+\dfrac{26}{32}\cdot\dfrac{{x_0}^{\frac{4}{3}}}{{y_0}^{\frac{1}{3}}}$

Isolamos $x_1$

$\dfrac{26}{32}\cdot\dfrac{{x_0}^{\frac{1}{3}}}{{y_0}^{\frac{1}{3}}}\cdot x_1=y_0+\dfrac{26}{32}\cdot\dfrac{{x_0}^{\frac{4}{3}}}{{y_0}^{\frac{1}{3}}}$

Somando as frações, teremos:

$\dfrac{26}{32}\cdot\dfrac{{x_0}^{\frac{1}{3}}}{{y_0}^{\frac{1}{3}}}\cdot x_1=\dfrac{32{y_0}^{\frac{4}{3}}+26{x_0}^{\frac{4}{3}}}{32{y_0}^{\frac{1}{3}}}$

Cancele os termos opostos da igualdade

$26\cdot{x_0}^{\frac{1}{3}}}\cdot x_1=32{y_0}^{\frac{4}{3}}+26{x_0}^{\frac{4}{3}}}$

Isolando $x_1$, teremos

$x_1=\dfrac{32{y_0}^{\frac{4}{3}}+26{x_0}^{\frac{4}{3}}}{26\cdot{x_0}^{\frac{1}{3}}}}$

Então, veja que na equação inicial, o ponto $P$ pertencia a ela. Dessa forma, ao somarmos as frações, vemos que:

$\dfrac{26{x_0}^{\frac{4}{3}}+32{y_0}^{\frac{4}{3}}}{832}=1$

Multiplicando ambos os lados por $832$, temos

$26{x_0}^{\frac{4}{3}}+32{y_0}^{\frac{4}{3}}}=832$

Substituindo este resultado em $x_1$, teremos

$x_1=\dfrac{832}{26\cdot{x_0}^{\frac{1}{3}}}}$

Simplifique a fração

$x_1=\dfrac{32}{{x_0}^{\frac{1}{3}}}}$

Repita o processo em $(0,~y_1)$

Por fim, sabendo que o triângulo formado é retângulo, sua área será dada por: $\dfrac{x_1\cdot y_1}{2}$, logo

$\dfrac{x_1\cdot y_1}{2}=8$

Substitua os valores que encontramos em $x_1$ e $y_1$

$\dfrac{\dfrac{32}{{x_0}^{\frac{1}{3}}}\cdot\dfrac{26}{{y_0}^{\frac{1}{3}}}}{2}=8$

Multiplique os valores

$\dfrac{832}{2{x_0}^{\frac{1}{3}}\cdot{y_0}^{\frac{1}{3}}}}}=8$

Isolamos ${x_0}^{\frac{1}{3}}\cdot{y_0}^{\frac{1}{3}}}$ como $\sqrt[3]{x_0\cdot y_0}$:

$\dfrac{832}{2\cdot 8}=\sqrt[3]{x_0\cdot y_0}$

Simplifique a fração

$\sqrt[3]{x_0\cdot y_0}=52$

Este é o valor que procurávamos e é a resposta contida na letra e).