Question

Determine a derivada de: f(x)=∛(x^2-5)^2

Answer 1

Vamos relembrar algumas propriedades de derivação

1) Derivada do monômio

$\displaystyle [x^n]' = n.x^{n-1}$

2) Regra da cadeia

$\displaystyle [f(u)]' = f(u)'.u'$

Onde "u" é uma função.

A questão pede a derivada de :

$\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{(x^2-5)^2}$

vamos reescrever a raiz em forma de potência para ajudar

$\displaystyle f(x) = [(x^2-5)^2]^{\frac{1}{3}}$

Derivando:

$\displaystyle f(x)' = \frac{1}{3}.[(x^2-5)^2]^{\displaystyle (\frac{1}{3}-1)}.[(x^2-5)^2]'$

Note que tivemos que usar a regra da cadeia.

$\displaystyle f(x)' = \frac{1}{3}.(x^2-5)^{\displaystyle( \frac{-2}{3}) }[(x^2-5)^2]'$

$\displaystyle f(x)' = \frac{1}{3.(x^2-5)^{ \frac{2}{3}}}.[(x^2-5)^2]'$

Cuidado nessa parte, vou até derivar separado aqui e dps eu substituo. Se liga :

Derivada de :

$[(x^2-5)^2]' = 2.(x^2-5).[x^2-5]'$

Não esquece de usar a regra da cadeia, de multiplicar pela derivada do que está dentro do parenteses.

Continuando :

$[(x^2-5)^2]' = 2.(x^2-5).[x^2-5]'$

$[(x^2-5)^2]' = 2(x^2-5).(2x)$

$[(x^2-5)^2]' = 4x.(x^2-5)$  

voltando lá na derivada :

$\displaystyle f(x)' = \frac{1}{3.(x^2-5)^{\frac{2}{3}}}.[(x^2-5)^2]'$

substituindo a derivada que falta

$\displaystyle f(x)' = \frac{1}{3.(x^2-5)^{\frac{2}{3}}}.4x.(x^2-5)$

pronto, está derivado.

Dá pra dar uma melhorada, assim :

$\displaystyle f(x)' = \frac{4x.(x^2-5)}{3.\sqrt[3]{(x^2-5)^2}}$