Question

Calcule as derivadas pedidas a seguir:

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos estas questões, devemos relembrar algumas técnicas de derivação e de derivadas parciais.

a)  $f(x,~y)=6x+3y-7$, buscamos $\partial_x$ e $\partial_y$.

Para tanto, lembre-se que ao derivarmos parcialmente uma função de duas variáveis, consideramos a outra constante, logo:

$\partial_x(6x+3y-7)$

Aplique a regra da soma

$\partial_x(6x)+\partial_x(3y)-\partial_x(7)$

Sabendo que a derivada de uma constante é igual a zero e $\partial(a\cdot f(x))=a\cdot\partial(f(x))$, temos

$6+0+0\\\\\\ 6$

Fazendo o mesmo para a variável $y$, temos

$\partial_y(6x+3y-7)\\\\\\ \partial_y(6x)+\partial_y(3y)-\partial_y(7)\\\\\\ 3$

b)  $f(x,~y) =xy^2-5y+6$, buscamos $\partial_x$ e $\partial_y$.

$\partial_x(xy^2-5y+6)$

Novamente, aplique a regra da soma

$\partial_x(xy^2)-\partial_x(5y)+\partial_x(6)$

Aplique a regra da constante

$y^2\cdot\partial_x(x)-0+0\\\\\\ y^2$

Faça o mesmo para a variável $y$

$\partial_y(xy^2-5y+6)\\\\\\ \partial_y(xy^2)- \partial_y(5y)+ \partial_y(6)\\\\\\ x\cdot\partial_y(y^2)- 5\\\\\\ x\cdot2y- 5\\\\\\ 2xy-5$

c)  $f(x,~y)=\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}$, buscamos $\partial_y$

$\partial_y\left(\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$

Aplicamos a regra do quociente

$\dfrac{\partial_y(x+y)\cdot\sqrt{x^2+y^2}-\partial_y(\sqrt{x^2+y^2})\cdot(x+y)}{(\sqrt{x^2+y^2})^2}$

Aplique a regra da soma, da potência (lembrando que $\sqrt{x^2+y^2}=(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}$) e da cadeia

$\dfrac{(\partial_y(x)+\partial_y(y))\cdot\sqrt{x^2+y^2}-\partial_y(x^2+y^2)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(x+y)}{(\sqrt{x^2+y^2})^2}\\\\\\ \dfrac{(\partial_y(x)+\partial_y(y))\cdot\sqrt{x^2+y^2}-(\partial_y(x^2)+\partial_y(y^2))\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(x+y)}{(\sqrt{x^2+y^2})^2}\\\\\\ \dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-2y\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(x+y)}{(\sqrt{x^2+y^2})^2}$

Multiplique e some as frações

$\dfrac{x^2+y^2-xy-y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}$

Aplique a propriedade do produto de potências de mesma base e some os valores

$\dfrac{x^2-xy}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}$

d)  $u(x,~y,~z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, buscamos $\partial_z$

$\partial_z(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$

Aplique a regra da potência e da cadeia

$\partial_z(x^2+y^2+z^2)\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

Aplique a regra da soma e da potência

$(\partial_z(x^2)+\partial_z(y^2)+\partial_z(z^2))\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\\\\\ 2z\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

Multiplique as frações

$\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

e)  $f(x,~y)=e^{xy}+\sin(x)$, buscamos $\partial_x$

$\partial_x(e^{xy}+\sin(x))$

Aplique a regra da soma e da cadeia

$\partial_x(e^{xy})+\partial_x(\sin(x))\\\\\\ \partial_x(xy)\cdot e^{xy}+\partial_x(\sin(x))$

Sabendo que $\partial(e^x)= e^x$ e $\partial (\sin(x))=\cos(x)$, temos

$ye^{xy}+\cos(x)$