Question

Calcule essa integral Agradeço muito quem ajudar

Answer 1

Vamos ter que Aplicar a redução de integrais :

$\displaystyle \int sen^{n}(x)dx = \frac{-cos(x).sin^{n-1}(x)}{n} + \frac{n-1}{n}.\int sen^{n-2}(x)dx$

vambora integrar.

$\displaystyle \int\limits^ \pi_0 8sen^4(x).cos^2(x)dx$

primeiro vamos colocar o 8 para fora, já que ele é constante.

$\displaystyle 8 \int\limits^ \pi_0 sen^4(x).cos^2(x)dx$

agora vamos substituir  $cos^2(x) = (1-sen^2(x)$  

$\displaystyle 8 \int\limits^ \pi_0 sen^4(x).(1-sen^2(x))dx \\ \\\displaystyle 8 \int\limits^ \pi_0 [sen^4(x) -sen^6(x)]dx$

Subtração pode separar as integrais, então vamos fazer isso.

$\displaystyle 8 \int\limits^ \pi_0 sen^4(x)dx -8\int\limits^\pi_0 sen^6(x)dx$

agora vamos Aplicar a redução de integrais para cada uma :

fazendo para $sen^4(x)$ :

$\displaystyle \int\limits^\pi_0 sen^{4}(x)dx = [\frac{-cos(x).sin^{4-1}(x)}{4}]\limits^\pi_0 + \frac{4-1}{4}.\int\limits^\pi_0 sen^{4-2}(x)dx \\\displaystyle \int\limits^\pi_0 sen^{4}(x)dx = [\frac{-cos(x).sin^{3}(x)}{4}]\limits^\pi_0 + \frac{3}{4}.\int\limits^\pi_0 sen^{2}(x)dx$

cuidado para não esquecer os limites de integração.

De cara você vê que a primeira parte ali vai zerar, sobrando apenas :

$\displaystyle \frac{3}{4}.\int\limits^\pi_0 sen^{2}(x)dx$

substituindo $\displaystyle sen^2(x) = \frac{1-cos(2x)}{2}$

$\displaystyle \frac{3}{4}.\int\limits^\pi_0 \frac{1-cos(2x)dx}{2} \\\displaystyle \frac{3}{4}.\frac{1}{2}\int\limits^\pi_0 (1-cos(2x))dx$

separando a subtração em duas integrais

$\displaystyle \frac{3}{8}[\int\limits^\pi_0 1dx - \int\limits^\pi_0cos(2x)dx]$

agora é fácil :

$\displaystyle \int\limits^\pi_0 1dx = \pi$

$\displaystyle \int\limits^\pi_0 cos(2x)dx = [\frac{sen(2x)}{2}]\limits^\pi_0 = 0$

portanto :

$\displaystyle \int\limits^\pi_0 sen^4(x)dx = \frac{3}{8}[\int\limits^\pi_0 1dx - \int\limits^\pi_0cos(2x)dx] = \frac{3\pi}{8}$

lembrando que tem o 8 lá fora multiplicando, então fica :

$\fbox{\displaystyle 8\int\limits^\pi_0 sen^4(x)dx = 8.\frac{3\pi}{8} = \displaystyle 3\pi }$

Agora vamos fazer Aplicar a redução de integrais para  $sen^6(x)$ :

$\displaystyle \int\limits^\pi_0 sen^{6}(x)dx = [\frac{-cos(x).sin^{6-1}(x)}{6}]\limists^\pi_0 + \frac{6-1}{6}.\int sen^{6-2}(x)dx$

$\displaystyle \int\limits^\pi_0 sen^{6}(x)dx = [\frac{-cos(x).sin^{5}(x)}{6}]\limists^\pi_0 + \frac{5}{6}.\int\limits^\pi_0 sen^{4}(x)dx$

A primeira parte ali vai zerar, sobrando apenas :

$\displaystyle \frac{5}{6}.\int\limits^\pi_0 sen^{4}(x)dx$

maravilhosamente já temos a integral do $sen^4(x)$. Substituindo :

$\displaystyle \frac{5}{6}.\int\limits^\pi_0 sen^{4}(x)dx = \frac{5}{6}.\frac{3\pi}{8}$

$\displaystyle \frac{5}{6}.\int\limits^\pi_0 sen^{4}(x)dx = \frac{5\pi}{16}$

colocando o 8 que estava fora multiplicando, ficando assim :

$\displaystyle 8\int\limits^\pi_0 sen^6(x)dx = \displaystyle 8.\frac{5}{6}.\int\limits^\pi_0 sen^{4}(x)dx = 8.\frac{5\pi}{16}$

ficando apenas :

$\fbox{\displaystyle 8\int\limits^\pi_0 sen^6(x)dx = \frac{5\pi}{2} }$

Voltando de onde tínhamos parado

$\displaystyle 8 \int\limits^ \pi_0 sen^4(x)dx -8\int\limits^\pi_0 sen^6(x)dx$

substituindo :

$\displaystyle 3\pi - \frac{5\pi}{2} \to \displaystyle \frac{6\pi-5\pi}{2} \to \fbox{\displaystyle \frac{\pi}{2} }$

Ou seja :

$\fbox{ \displaystyle \int\limits^ \pi_0 8sen^4(x).cos^2(x)dx = \fbox{\displaystyle \frac{\pi}{2} } }$