Question

Prove que 1 - cos(2x)/2 = 1 - cos^2(x)

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

1 - cos²(x)

Usando essa expressão tentaremos chegar do outro lado

Sabemos que cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)

Usando a relação fundamental temos

cos²(x) + sen²(x) = 1

sen²(x) = 1 - cos²(x)

Substituindo em cos(2x)

cos(2x) = cos²(x) - (1 - cos²(x))

cos(2x) = cos²(x) - 1 + cos²(x)

cos(2x) = 2cos²(x) - 1

Isolando cos²(x)

2cos²(x) = cos(2x) + 1

cos²(x) = [cos(2x) + 1]/2

Usamos a identidade fundamental trigonométrica e a do cosseno do arco duplo para chegar onde queria, agora vamos trabalhar novamente com

1 - cos²(x). Note que cos²(x) = [cos(2x) + 1]/2, vamos substituir então:

1 - cos²(x)

1 - [cos(2x) + 1]/2

1 + [-cos(2x) - 1]/2

Agor é hora do mmc

2/2 + [-cos(2x) - 1]/2

[2 - cos(2x) - 1]/2

[1 - cos(2x)]/2

Provado, também poderia partir de [1 - cos(2x)]/2 e chegar do outro lado. NOte que usando um lado da igualdade precisei usar outras identidades que tinham o termo que precisava e ir isando as variáveis e substituindo.

Essa identidade é muito útil em integrais.