Question

Calcule abaixo, utilizando o conceito de derivada direcional do campo escalar f(x,y) no ponto indicado e na direção v=i + j (vetorial):

Answer 1

Vamos precisar de:

- darivadas parciais fx e fy

- Um ponto, no caso P(1,1)

- Um vetor diretor, no caso v= 1 + j (normalizado)

Vamos normalizar o vetor v:

v = (1, 1)

$||v||=\sqrt{1^{2}+1^{2}} \\ \\||v||=\sqrt{1 + 1} \\ \\ ||v||=\sqrt{2}$

Esta é a norma (tamanho) de v.

O vetor normal, chamaremos de n. Basta dividir cada componente pela norma:

$n=(\frac{1}{\sqrt{2} }i+ \frac{1}{\sqrt{2} }j ) \\ \\ n=(\frac{1}{\sqrt{2} }, \frac{1}{\sqrt{2} })$

Agora vamos para as derivadas parciais no ponto P(1,1)

derivada PARCIAL em relação a x:

$f_{x} = 2.2x+0\\\\ f_{x} = 4x \\ \\ f_{x}(P)=4.1=4$

derivada PARCIAL em relação a y:

$f_{y} = 0 + 2.2y\\\\ f_{y} = 4y \\ \\ f_{y}(P)=4.1=4$

Agora encaixamos os dados na equação:

$D_{n} f(x,y) = f_{x} (P).i_{n} + f_{y} (P).j_{n} \\ \\D_{n} f(x,y) = 4.\frac{1}{\sqrt{2} } + 4.\frac{1}{\sqrt{2} } \\\\D_{n} f(x,y) = \frac{4}{\sqrt{2} } + \frac{4}{\sqrt{2} } \\\\\boxed{D_{n} f(x,y) = \frac{8}{\sqrt{2} } }}$

Se quiser ajeitar esse resultado, podemos racionalizar:

$\frac{8}{\sqrt{2} } .\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\frac{8\sqrt{2}}{2} =4\sqrt{2}$

Assim,

$\boxed{\boxed{D_{n} f(x,y)=4\sqrt{2} }}$

Answer 2

Resposta:

$\pink{\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial \vec{u}} (1, 1) = \dfrac{8}{ \sqrt{2} }}} ~~~\green{\checkmark} \blue{\checkmark} \pink{\checkmark}$

Explicação passo-a-passo:

(i) conceitos introdutórios

Seja $f(x,y)$ uma função definida em um conjunto aberto A, tal que $(x_\circ , y_\circ ) \in \sf{A}$ e $\vec{u} = (a,b)$ um vector unitário. Se $f(x,y)$ é diferenciável em em $(x_\circ , y_\circ )$, então $f(x,y)$ tem derivada direcional em $(x_\circ , y_\circ )$ e na direcção do vector $\vec{u}$, e além disso,

$~~~~~~~\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial \vec{u}} (x_0, y_0) = \triangledown f(x_0 , y_0 ) \vec{u}}$

(Bom, estas são apenas preliminares, vamos a resolução).

(ii) Respondendo a questão

• Method 1

Primeiramente, note que o vector $\vec{v} = \hat{\imath} + \hat{\jmath}$ não é unitário, sendo assim devemos calcular o seu versor, destarte, teremos que o vetor unitário será dado por,

$~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{\vec{v} = \dfrac{\vec{v}}{||\vec{v}||}}$

Por conseguinte, ficámos com,

$\iff \vec{v} = \dfrac{\hat{\imath} + \hat{\jmath}}{\sqrt{1^2 + 1^2} }$

$\\ \purple{\boxed{\iff \vec{v} = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\hat{\imath} + \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)\hat{\jmath}}}$

Como $f$ é diferenciável (uma vez que é uma composição de funções contínuas), temos primeiro que,

$\green{\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial x} = 4x}}$

Da mesma forma,

$\blue{\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial y} = 4y}}$

Sendo assim, sabemos que,

$\triangledown f(x,y) = (4x , 4y) \Leftarrow$ vector gradiente

Facto que nos leva a concluir que (com $\red{\sf{P}(1,1)}$), têm-se,

$\boxed{\triangledown f(x,y) = (4 , 4)}$

Portanto,

$\dfrac{\partial f}{\partial \vec{v}} (1, 1) = \triangledown f(1 ,1) * \vec{v}$

Ou melhor,

$\\ \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v}} (1, 1) = \left[\dfrac{\partial }{\partial x} (1,1) + \dfrac{\partial }{\partial y} (1,1)\right] \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$

Daí que surge,

$\\ \iff \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v}} (1, 1) = (4 + 4)* \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$

$\iff \pink{\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial \vec{v}} (1, 1) = \dfrac{8}{ \sqrt{2} }}}$

• Method 2

Sendo que a função satisfaz os conceitos introdutórios (supracitados) poderiamos ter recorrido a definição de derivada direcional, matematicamente, o limite quando existe,

$\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial \vec{v} } (x_0 , y_0) = \displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{f(\green{x_0 + at}, \blue{y_0 + bt}) - f(x_0,y_0)}{t}}$

é a taxa de variação de $f$ em $(x_0,y_0)$. O limite acima é na verdade a representação da derivada direcional de $f$ no ponto $(x_0,y_0)$ e na direcção do vector $\vec{v} = a\hat{\imath} + b\hat{\jmath}$, sendo assim, ficámos com,

$\iff \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v} } (1,1) = \displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{f \left(1 + \dfrac{t}{\sqrt{2}} , 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) - f(1,1)}{t}$

$\\ \iff \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v} } (1,1) = \displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{2\left(1 + \dfrac{t}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(1 + \dfrac{t}{\sqrt{2}}\right)^2 - (2 + 2)}{t}$

$\\ \iff \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v} } (1,1) = \displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{4\left(1 + \dfrac{t}{\sqrt{2}}\right)^2 - 4}{t}$

$\\ \iff \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v} } (1,1) = 4\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{\left(1 + \dfrac{t}{\sqrt{2}}\right)^2 - 1}{t}$

$\\ \iff \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v} } (1,1) = 4\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{\left(1 + \dfrac{t}{\sqrt{2}} - 1\right)\left(2 + \dfrac{t}{\sqrt{2}}\right)}{t}$

$\\ \iff \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v} } (1,1) = 4\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{\left(\dfrac{2t}{\sqrt{2}} + \dfrac{t^2}{2}\right)}{t}$

$\\ \iff \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v} } (1,1) = 4\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{2}{\sqrt{2}} + \cancel{\dfrac{t}{2}}$

$\\ \iff \dfrac{\partial f}{\partial \vec{v} } (1,1) = 4*\dfrac{2}{\sqrt{2}}$

$\iff \pink{\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial \vec{v}} (1, 1) = \dfrac{8}{ \sqrt{2} }}}$

Espero ter colaborado! $\red{@\underline{\mathbb{ZIBIA}}}$

Qualquer sombra de dúvida será esclarecida nos comentários! Abraços! =)