• Matéria: Matemática
  • Autor: gimof81375
  • Perguntado 6 anos atrás

Existem quantos números inteiros x tal que log10(x−40)+log10(60−x)<2

Respostas

respondido por: erononp6eolj
0

Resposta:

18

Explicação passo-a-passo:

Aplicando a propriedade de soma de logaritmos de mesma base:

log_{a}{b}+log_{a}{c}=log_{a}{ac}

Da inequação:

log_{10}{(x-40)}+log_{10}{(60-x)}=log_{10}{(x-40)(60-x)}

Escrevendo o número 2 como logaritmo:

log_{10}{100}=2

Reescrevendo a inequação:

log_{10}{(x-40)(60-x)}&lt;log_{10}{100}

Como possuem a mesma base, a inequação fica:

(x - 40)(60 - x) < 100

60x - x² - 2400 + 40x < 100

-x² + 100x - 2500 < 0

x² - 100x + 2500 > 0

Resolvendo a equação do segundo grau associada, por Bhaskara:

x = \dfrac{100 \pm \sqrt{100^2 - 4*1*2500} }{2*1}

x = \dfrac{100}{2}

x = 50

O gráfico associado é como na figura. Pode-se notar, que a função é maior que 0 para todos os valores reais exceto o número 50.

Validação da condição de existência dos logaritmos:

log_{10}{(x-40)}

x - 40 > 0

x > 40

log_{10}{(60-x)}

60 - x > 0

x < 60

Logo, o conjunto solução da inequação é:

S = {x ∈ R | 40 < x < 60 e x ≠ 50}

Os números inteiros que satisfazem a solução são: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59.

No total, a inequação possui 18 números inteiros como solução.

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