Question

Sabe-se que uma reta é secante a uma circunferência, que por sua vez é tangente ao eixo y e de centro (2 ; 3), conforme ilustra a imagem abaixo. Numa folha em branco, determine suas respectivas equações na forma geral.

Answer 1

A equação geral da circunferência é dado por :

$\displaystyle (X-X_c)^2 + (Y-Y_c)^2 = R^2$

onde :

$X_c =$ ponto X do centro

$Y_c =$ ponto Y do Centro

R = Raio

A equação da reta pode ser calculada por :

$\displaystyle (Y-Y_0) = m.(X-X_o)$

onde :

m = coeficiente angular da reta ( tangente do ângulo de inclinação )

$Y_o =$ posição inicial em y

$X_o =$ posição inicial em x

A questão nos dá uma circunferência com centro $C(2,3)$, note que o ponto A é tangente ao eixo Y, logo o raio vale 2.

Raio = 2

Centro : Xc = 2 e Yc = 3

Vamos usar a equação da circunferência

$\displaystyle (X-X_c)^2 + (Y-Y_c)^2 = R^2$

substituindo os respectivos valores :

$\displaystyle (X-2)^2 + (Y-3)^2 = 2^2$

desenvolvendo :

$\displaystyle X^2 - 4x + 4 + Y^2 - 6Y + 9 = 4\\\\ \fbox{\displaystyle X^2 + Y^2 -4X - 6Y + 9 = 0 }$

Pronto, ta ae a equação da circunferência.

Agora vamos achar a equação da reta.

Note que o ângulo ali é 135º, logo o que falta para chegar a 180º é 45º. Então a inclinação da reta é 45º.

Temos as informações :

$X_o = 2\\Y_o = 3 \\m = Tg(45^{\circ}) = 1$

Usando a equação da reta :  

$\displaystyle (Y-Y_0) = m.(X-X_o)$

substituindo os respectivos valores :

$\displaystyle (Y-3) = 1.(X-2)\\Y - 3 = X - 2 \\X - 2 - Y + 3 = 0 \\Portanto : \\\fbox{\displaystyle X - Y + 1 = 0 }$

Pronto, essa é a equação da reta.