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Explicação passo-a-passo:
O Triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, o que justifica o nome que lhe é dado.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
...
Este triângulo forma-se de forma recursiva, ou seja, as diagonais de fora são formadas por 1's, os restantes números são a soma dos números acima. Como exemplo podemos dizer que: 10=4+6 (10-linha 5; 4 e 6-linha 4).
NOTA: Considera-se que o topo do triângulo corresponde à linha 0, coluna 0.
Apresentando a fórmula matemática para esta propriedade:
sendo n o número de linhas e k o número de colunas dessa linha onde o número está (não se conta com o topo do triângulo, pois numa sucessão definida por recorrência tem que existir uma condição inicial, tal é 1).
Tal fórmula prova-se por indução matemática em n.
Uma outra consequência é a soma dos elementos de uma linha.
Pascal ao constatar este resultado particularizou o método da indução para um determinado valor e disse que o mesmo sucederia para os restantes.
A 20ª consequência que Blaise Pascal retirou do triângulo foi a seguinte:
Também esta fórmula pode ser demonstrada usando o método da indução.
Com as 20 consequências que Pascal retirou do triângulo, foi-lhe possível chegar ao resultado
Usando o método da indução, ele chegou ainda à conclusão que
ou seja, ao número de combinações de n elementos k a k.
Também mostrou que as linhas do triângulo correspondem aos coeficientes da potência de a na expansão de
Pascal relaciona o triângulo aritmético com a teoria das probabilidades da qual foi também pioneiro.
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Outras propriedades do triângulo de Pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 106 106 84 36 9 1
...
É de realçar que o triângulo é simétrico. Por isso os elementos equidistantes aos extremos do triângulo iguais, ou seja em linguagem matemática, nCp= nCn-p com n, pÎN0, n³p.
Encontramos também os números naturais aqui, na 2ª diagonal. Quando um deles for primo (isto é, apenas divisível por ele próprio e por 1) então todos os elementos dessa linha, excluindo o 1, são divisíveis por ele.
Temos como exemplo na linha 7:
1 7 21 35 35 21 7 1
como 7 é primo então 7, 21 e 35 são divisíveis por ele.
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Como Pascal observou, a soma de cada linha é uma potência de 2.
Assim temos
Linha 0: 20=1
Linha 1: 21=2
Linha 2: 22=4
Linha 3: 23=8
...