1 - Quantos números podem ser feitos usando o agrupamento K-41. 2. 3. 4. 5. 6. 71?
2- Uma lanchonete possui cinco tipos de pastéis, dois tipos de sorvetes e dois tipos de sucos. Quantas
possibilidades de lanches completos são possíveis com essas opções?
3. Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1.2.
3. 4. 5. 6. 7. 8 e 9?
a) 1 498 senhas
b) 2 378 senhas
c) 3 024 senhas
d) 4 256 senhas
4 - O diretor de uma escola convidou os 280 alunos do terceiro a participarem de uma brincadeira
Havia 5 objetos e 6 personagens em uma casa de 9 cômodos. Um dos personagens deveria esconder
um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira era adivinhar qual objeto foi
escondido, por qual personagem e em qual cômodo da casa.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno era sorteado e dava a sua resposta. As
respostas deveriam ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não poderia ser sorteado
mais de uma vez. Se a resposta do aluno estivesse correta, ele seria declarado vencedor e a brincadeira
seria encerrada.
O diretor sabia que algum aluno acertaria a resposta porque havia:
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
5 - Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Determine o número
de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.
6 - Um time de futebol é composto de 11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meio campistas
e 2 atacantes. Considerando-se que o técnico dispõe de 3 goleiros, 8 zagueiros,
10 meio campistas e 6 atacantes, determine o número de maneiras possíveis que esse time pode ser
formado
7 - De Quantas maneiras posso obter um dos 4 carros esportes, E1, E2, E3 e E4 disponíveis no
mercado com duas versões, motor 1.0 e motor 1.4 se cada uma é oferecida em três cores, cl,c2 e
c3
Respostas
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
1) A análise combinatória estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações.
A analise combinatória está associada com o processo de contagem, ou seja, o estudo dessa área da matemática possibilita-nos desenvolver ferramentas que nos auxiliam na realização de contagens de maneira mais eficiente.
C(n,p) = n!/p!(n-p)!
C(7,4) = 7!/4!(7-4)!
C(7,4) = 7!/4!3!
C(7,4) = 7.6.5.4!/4!3!
C(7,4) = 7.6.5/3!
C(7,4) = 7.6.5/(3.2.1)
C(7,4) = 7. 5
C(7,4) = 35 possibilidades.
Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença.
A n,p = n! /(n – p)!
A 7,4 = 7! /(7 – 4)!
A 7,4 = 7! /3!
A 7,4 = 7.6.5.4.3! /3!
A 7,4 = 7.6.5.4 = 840 possibilidades distintas.
2) Na lanchonete, o pedido pode ser feito em 3 etapas e cada etapa possui 2 ou mais possibilidades, então, o total de combinações é o produto entre estas possibilidades:
5 pastéis . 2 sorvetes . 2 sucos = 20 combinações.
3) Usando o princípio fundamental da contagem.
Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que irão compor a senha, então teremos a seguinte situação:
- 9 opções para o algarismo das unidades;
- 8 opções para o algarismo das dezenas, visto que já utilizamos 1 algarismo na unidade e não pode repetir;
- 7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na unidade e outro na dezena;
- 6 opções para o algarismo do milhar, pois temos que tirar os que já usamos anteriormente.
Assim, o número de senhas será dado por:
9.8.7.6 = 3024 senhas.
4) Existem 5 objetos, 6 personagens e 9 cômodos, podemos calcular a quantidade de possibilidades de combinações dessa brincadeira.
Para calcular a quantidade de combinações possíveis, basta multiplicarmos a quantidade de possibilidades em cada variável, ou seja, multiplicarmos os objetos, pelos personagens pelos cômodos:
5 objetos . 6 personagens . 9 cômodos = 270 possibilidades de combinações.
280 alunos - 270 cenários = 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas, pois o Diretor sabe que um aluno acertará.
5) O número de eventos possíveis será:
- Para a primeira bola, temos 10 possibilidades.
- Para a segunda bola, temos 9 possibilidades, pois uma delas já foi sorteada.
- Para a terceira bola, temos 8 possibilidades, pois duas delas já foram sorteadas.
- Para a quarta bola, temos 7 possibilidades, pois três delas já foram sorteadas.
- Para a quinta bola, temos 6 possibilidades, pois quatro delas já foram sorteadas.
- Para a sexta bola, temos 5 possibilidades, pois cinco delas já foram sorteadas.
O número de possibilidades para esse sorteio será:
10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 = 151200 possibilidades.
6) Vamos usar a fórmula da Combinação: C(n,p) = n!/p!(n-p)!
1º) Temos que escolher 1 goleiro entre os 3 disponíveis. A quantidade de maneiras que podemos fazer essa escolha é:
C(3,1) = 3.
2º) Temos que escolher 4 zagueiros entre os 8 disponíveis. A quantidade de maneiras que podemos fazer essa escolha é:
C(8,4) = 70.
3º) Temos que escolher 4 campistas entre os 10 disponíveis. A quantidade de maneiras que podemos fazer essa escolha é:
C(10,4) = 210
Então precisamos escolher 2 atacantes entre os 6 disponíveis. Logo , a quantidade de maneiras que podemos fazer essa escolha é igual a:
C(6,2) = 15.
O número de maneiras possíveis que esse time pode ser formado é igual a: 3 . 70 . 210 . 15 = 661500 maneiras.
7) São: 4 carros esportes . 2 versões . 3 cores = 24 maneiras.