Question

Uma estrutura tem a forma de tetraedro regular, será construída conforme a figura: Sabendo que a aresta mede 4√ m. Determine: a) a altura do tetraedro; b) a área total; c) o volume.

Answer 1

Resposta:

a) h = 4√2 m

b) St = 12.√3 m²

c) V = 16√3 m³

Explicação passo-a-passo:

=> O tetraedro regular é uma pirâmide regular que apresenta as quatro faces congruentes e as seis arestas também congruentes.

St = 4a²√3/4 ou St = a²√3

O elemento (a) na fórmula descrita acima é a medida da aresta do tetraedro.

=> Para determinação da altura do tetraedro utilizamos a fórmula:

h = a√6/3

=> Cálculo da área total do tetraedro.

Como o tetraedro regular é composto por 4 faces triangulares e os triângulos das faces são equiláteros, a área total será dada por:

St = a²√3

=> Cálculo do volume do tetraedro

O volume do tetraedro, assim como o de qualquer pirâmide, é obtido fazendo:

V = 1/3.Sb.h

Onde,

Sb →   é a área da base do tetraedro.

h → é a altura do tetraedro.

Como,

Sb = a²√3

e

h = a√6/3

Obtemos:

V = 1/3.Sb.h

V = 1/3 . a²√3 /4 . a√6 /3

V = 1/3.a³.√18 /36

V = a³. √2.3² /36

V = a³. 3√2 /36

V = a³√2

V = a³√2 /12

=> Dado:

a = aresta do tetraedro =  4√3 m

=> a) a altura do tetraedro

h = a√6/3

h = 4√3.√6 /3

h = 4.√18 /3

h = 4.√2.3²/3

h = 4.3.√2 /3

h = 12√2 /3

h = 4√2 m

=> b) a área total

St = a²√3

St = (4√3)².√3

St = 16.√9 . √3

St = 16.3.√3

St = 48.√3 m²

=> c) o volume

V = a³√2 /12

V = (4√3)³ /12

V = 64.√27 /12

V = 64.√3.3² /12

V = 64.3.√3 /12

V = 192.√3 /12

V = 16√3 m³