Question

Boa tarde! Algum amigo pode me lembrar como fica a fatoração da função: y = x³ - 4x² + x + 6 ? Desde já sou grato!

Answer 1

Pra ser sincero, eu não consigo encontrar rapidamente, então eu uso o Teorema das raízes racionais, que diz:

• Seja $A_nx^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+.....A_1+A_0=0$ uma equação com coeficientes inteiros. Se p/q (fração irredutível) é uma raiz, então p é divisor de a0 e q é divisor de an.

Partindo dessa definição, temos que pegar o termo lá do final da nossa expressão que é o 6, vulgo a0 e o coeficiente do primeiro termo, ou seja, coeficiente de x³ que é 1 e esse será o an. Ainda de acordo com a definição p é divisor de a0 e q é divisor de an, então temos que descobrir os divisores de 1 e de 6:

$\sf \frac{p}{q} = \frac{D \{6 \} }{D \{1 \}} = \frac{6, - 6 ,3 , - 3 ,2 , - 2,1, - 1}{1, - 1}$

Portanto esses são os divisores. Uma consequência dessa definição, é que quando o an é igual a "1", as possíveis raízes são dadas pelos divisores de a0, etanol as possíveis raízes dessa expressão são:

$\sf ra \acute{i}zes :6, - 6 ,3 , - 3 ,2 , - 2,1, - 1$

A única forma de saber qual é ou não, raíz, devemos ir testando até achar uma que faça com que a expressão zere.

$\sf y = {x}^{3} - 4x {}^{2} + x + 6 \: \: \: para \: \: x = - 2 \\ \sf y = ( - 2) {}^{3} - 4.( - 2) {}^{2} - 2 + 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf y = - 8 - 8 + 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf y = - 12 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf y = x {}^{3} - 4x {}^{2} + x + 6 \: \: \: para \: \: x = 3 \: \: \: \\ \sf y = 3 {}^{3} - 4.3 {}^{2} + 3 + 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf y = 27 - 36 + 9 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf y = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Descobrimos que "0" é de fato uma raiz dessa função, então vamos usar a mesma para encontrar as outras raízes através do dispositivo Briot-ruffini:

$\sf x {}^{3} - 4x {}^{2} + x + 6 \\ \begin{array}{c|c} \sf 3&1& -4 &1&6 \\ & 1& - 1& - 2 &0 \end{array}$

No dispositivo, os números que resultaram, partem do menor grau (direita) para o maior grau (esquerda), então ficamos com a expressão:

$\sf x {}^{2} - x - 2$

Se você lembra de polinômios, uma raiz deve ser expressa como (x - a), sendo o "a" a raiz, então podemos escrever o 3 sendo:

$\sf a = 3 \longrightarrow ( x - 3)$

• Você deve lembrar também que o Divisor é igual ao dividendo vezes o quociente mais o resto, logo:

$\sf resto :0 \\ \sf dividendo : (x - 3) \\ \sf divisor : x {}^{3} - 4x {}^{2} + x + 6 \\ \sf quociente : x {}^{2} - x - 2 \\ \\ \sf x {}^{3} - 4x {}^{2} + x + 6 = ( x - 3).(x {}^{2} - x - 2) + 0 \\ \sf \sf x {}^{3} - 4x {}^{2} + x + 6 = ( x - 3).(x {}^{2} - x - 2) \: \: \: \: \: \: \: \:$

Ainda podemos fatorar a expressão x² - x - 2, para a fatoração da mesma, podemos utilizar vários métodos, utilizarei a fatoração por agrupamento:

$\sf x {}^{2} - x - 2 \\ \sf x {}^{2} + ( - 2 +1 )x - 2 \\ \sf x {}^{2} - 2x + x - 2 \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf x {}^{2} + x - 2x - 2 \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf x(x + 1) - 2.(x + 1) \\ \sf (x + 1).(x - 2) \: \:$

Então podemos concluir que:

$\boxed{ \sf \sf x {}^{3} - 4x {}^{2} + x + 6 = ( x - 3).(x + 1).(x - 2)}$

Espero ter ajudado