Question

Ache a área da região limitada pelas três curvas y = x² , y = 8 - x², e y = 4x – y + 12 = 0

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, utilizaremos integrais, porém devemos prestar atenção na forma para calcularmos a área.

Primeiro, esboçamos o gráfico das funções. A partir dele, analisamos como as funções se comportam e seus pontos de intersecção, para que possamos saber quais limites de integração utilizar.

Então sejam as funções $y=x^2,~y=8-x^2$ e $y=4x-y+12$.

Na equação da reta, somamos $y$ em ambos os lados da equação:

$2y=4x+12$

Divida ambos os lados por $2$

$y=2x+6$

Então, passo uma reta $y=4$ para definirmos corretamente cada área que integraremos. As áreas $A_1$ e $A_2$  estão abaixo da reta, enquanto as áreas $A_3$ e $A_4$ estão acima dela, tal que a área que procuramos é igual a $A_{total}=A_1+A_2+A_3+A_4$.

Primeiro, calculamos a área $A_1$. Veja que ela está entre as funções $y=2x+6$ e $y=x^2$. Igualamos as duas funções para encontrarmos o ponto de intersecção:

$2x+6=x^2$

Passando os termos à direita da equação para a esquerda, teremos a equação quadrática:

$-x^2+2x+6=0$

Calculando as raízes desta equação, obtemos:

$x=1+\sqrt{7}~~~\mathtt{ou}~~~x=1-\sqrt{7}$

Porém, nos interessamos no ponto de intersecção que está no 2° quadrante, logo utilizamos $1-\sqrt{7}$.

O outro ponto de intersecção está definido pela reta $y=4$ em $x=-1$, logo ao observarmos os gráficos, constatamos que nossa integral será:

$\displaystyle{\int_{1-\sqrt{7}}^{-1} 2x+6-x^2\,dx$

Veja no PDF em anexo quais técnicas de integração utilizamos.

$x^2+6x-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_{1-\sqrt{7}}^{-1}$

Aplique os limites de integração de acordo com o Teorema fundamental do cálculo

$(-1)^2+6\cdot(-1)-\dfrac{(-1)^3}{3}-\left((1-\sqrt{7})^2+6\cdot (1-\sqrt{7})-\dfrac{(1-\sqrt{7})^3}{3}\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$\dfrac{14\sqrt{7}-34}{3}$

Então, calculamos a área $A_2$, definida entre as funções $y=4$ e $y=x^2$. Igualamos as funções para encontrarmos seus pontos de intersecção:

$x^2=4$

Ao resolvermos esta equação, teremos

$x=-2~~~\mathtt{ou}~~~x=2$

Como já temos definido o ponto $x=-1$ por conta da área anterior, utilizamos o limite superior $x=2$. Ao analisarmos o gráfico, nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int_{-1}^24-x^2\,dx}$

Calculando esta integral, teremos

$4x-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_{-1}^2$

Aplique os limites de integração

$4\cdot2-\dfrac{2^3}{3}-\left(4\cdot(-1)-\dfrac{(-1)^3}{3}\right)$

Calcule as potências e multiplique e some os valores

$9$

Então, calculamos a área $A_3$, definida entre as funções $y=2x+6$ e $y=4$. Igualamos as funções para encontrarmos seus pontos de intersecção:

$2x+6=4$

Subtraia $6$ em ambos os lados da equação

$2x=-2$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$x=-1$

O outro ponto a ser utilizado será a intersecção da reta $y=2x+6$ e$y=8-x^2$. Para isso, igualamos as funções:

$2x+6=8-x^2$

Passando os termos à direita da equação para esquerda:

$x^2+2x-2=0$

Calculando as raízes, teremos

$x=-1-\sqrt{3}~~~\mathtt{ou}~~~x=-1+\sqrt{3}$

Nos interessamos na solução que pertence ao primeiro quadrante, logo utilizamos o limite superior $x=-1+\sqrt{3}$. Assim, ao analisarmos o comportamento das funções, teremos a integral:

$\displaystyle{\int_{-1}^{-1+\sqrt{3}}2x+6-4\,dx}$

Some os valores

$\displaystyle{\int_{-1}^{-1+\sqrt{3}}2x+2\,dx}$

Calcule a integral

$x^2+2x~\biggr|_{-1}^{-1+\sqrt{3}}$

Aplique os limites de integração

$(-1+\sqrt{3})^2+2\cdot(-1+\sqrt{3})-((-1)^2+2\cdot(-1))$

Calcule as potência, multiplique e some os valores

$3$

Por fim, calculamos a área $A_3$, definida entre as funções $y=8-x^2$ e $y=4$. Igualamos as funções para encontrarmos seus pontos de intersecção:

$8-x^2=4$

Isole $x$

$-x^2=-4$

Divida ambos os lados por $-1$ e calcule as raízes da equação

$x^2=4\\\\\\ x=-2~~~\mathtt{ou}~~~x=2$

Utilizamos o limite anterior como inferior em $x=-1+\sqrt{3}$ e analisando o comportamento das funções no intervalo, teremos a seguinte integral:

$\displaystyle\int_{-1+\sqrt{3}}^28-x^2-4\,dx}$

Somando os valores e calculando a integral, teremos

$\displaystyle\int_{-1+\sqrt{3}}^24-x^2\,dx}\\\\\\\\ 4x-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_{-1+\sqrt{3}}^2$

Aplicando os limites de integração, temos

$4\cdot2-\dfrac{2^3}{3}-\left(4\cdot(-1+\sqrt{3})-\dfrac{(-1+\sqrt{3})^3}{3}\right)$

Calcule as potências, multiplique  e some os valores

$6-2\sqrt{3}$

Então, somando as áreas que encontrarmos, finalmente teremos o resultado:

$\dfrac{14\sqrt{7}-34}{3}+9+3+6-2\sqrt{3}\\\\\\ \dfrac{20+14\sqrt{7}-6\sqrt{3}}{3}$

Esta é a área entre as curvas.

46d80d6a140b697a472d5ffb9460d89c.pdf