Question

nível legendário
Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A x (2,7) kt, onde A é a massa inicial
e k é uma constante negativa.
Considere 0,3 como aproximação para log 2.
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?


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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf M(t)=A\cdot (2,7)^{kt}$

1) A meia-vida do césio-137 é 30 anos

$\sf A\cdot(2,7)^{kt}=\dfrac{A}{2}$

$\sf (2,7)^{k\cdot30}=\dfrac{\frac{A}{2}}{A}$

$\sf (2,7)^{30k}=\dfrac{A}{2}\cdot\dfrac{1}{A}$

$\sf (2,7)^{30k}=\dfrac{1}{2}$

$\sf (2,7)^{30k}=2^{-1}$

2) Tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial

$\sf A\cdot(2,7)^{kt}=\dfrac{A}{10}$

$\sf (2,7)^{k\cdot30}=\dfrac{\frac{A}{10}}{A}$

$\sf (2,7)^{kt}=\dfrac{A}{10}\cdot\dfrac{1}{A}$

$\sf (2,7)^{kt}=\dfrac{1}{10}$

$\sf [(2,7)^{kt}]^{30}=\left(\dfrac{1}{10}\right)^{30}$

$\sf (2,7)^{30kt}=\dfrac{1}{10^{30}}$

$\sf [(2,7)^{30k}]^t=10^{-30}$

Substituindo $\sf (2,7)^{30k}$ por $\sf 2^{-1}$:

$\sf (2^{-1})^{t}=10^{-30}$

$\sf log~(2^{-1})^{t}=log~10^{-30}$

$\sf t\cdot log~2^{-1}=-30\cdot log~10$

$\sf t\cdot(-1)\cdot log~2=-30\cdot log~10$

$\sf t\cdot(-1)\cdot0,3=-30\cdot1$

$\sf -0,3t=-30$

$\sf t=\dfrac{-30}{-0,3}$

$\sf t=\dfrac{300}{3}$

$\sf \red{t=100~anos}$