Question

Calcular a derivada da função f(x) = (x+1)2 no ponto x0=2 .

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = (x + 1) {}^{2}$

A questão pede para derivarmos essa função quando "x" é igual a "2", para isso vamos derivar essa função através da definição que é dar por:

$\boxed{\sf f'(x_0) = \lim_{ \Delta x \longrightarrow 0}\frac{f(\Delta + x_0)-f(x_0)}{\Delta x} }$

Primeiro vamos calcular o valor da função quando o "x" vale 2, ou seja, devemos simplesmente substituir o valor de "x" na função que a questão nos fornece.

$\sf \sf f(x) = (x + 1) {}^{2} \: \: \: para \: x_0 = 2 \\ \sf f(x) = (2 + 1) {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf f(x) = (3) {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf f(x) = 9 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo o valor de f(x):

$\sf f'(x_0) = \lim_{ \Delta x \longrightarrow 0}\frac{f(\Delta +2)-9}{\Delta x}$

Agora devemos fazer a mesma coisa para a função f(∆x + 2).

$\sf f(\Delta x + 2) = (x + 1) {}^{2}$

Onde tiver "x" devemos colocar ∆x + 2:

$\sf f (\Delta x + 2) = (\Delta x + 2 + 1) {}^{2} \: \: \\ \sf f(\Delta x + 2) = (\Delta x + 3) {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf f(\Delta x + 2) = \Delta x {}^{2} + 6\Delta x + 9$

Substituindo:

$\sf f'(2) = \lim_{ \Delta x \longrightarrow 0}\frac{\Delta x {}^{2} + 6\Delta x + 9-9}{\Delta x} \\ \\ \sf f'(2) = \lim_{ \Delta x \longrightarrow 0}\frac{\Delta x {}^{2} + 6\Delta x }{\Delta x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf f'(2) = \lim_{ \Delta x \longrightarrow 0}\frac{ \Delta x( \Delta x + 6)}{\Delta x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \sf f'(2) = \lim_{ \Delta x \longrightarrow 0}\Delta x + 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Mas ∆x tende para "0", então vamos substituir o valor do mesmo, logo obteremos que:

$\sf \sf f'(2) = (0 + 6) \\ \boxed{ \sf f'(2) = 6} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado